第4章 §2 2.2 换底公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 2.2　换底公式 (教师独具内容) 课程标准：掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简． 教学重点：对数的运算性质、换底公式． 教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　换底公式 (1)一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝.这个结论称为对数的换底公式． (2)转换成自然对数或常用对数logab＝＝. 1．三个较为常用的推论 若a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1，c≠1，则有： (1)logab·logbc·logca＝1； (2)logab＝； (3)logambn＝logab. 2．对数方程的求解 对数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本型 logaf(x)＝b 将对数式转化为指数式f(x)＝ab，解出x logf(x)n＝b 将对数式化为指数式[f(x)]b＝n，解出x，注意检验(f(x)>0且f(x)≠1) 同底数型 logaf(x)＝logaφ(x) 转化为f(x)＝φ(x)求解(必须检验，f(x)>0且φ(x)>0) 需代换型 f(logax)＝0 换元，令t＝logax，转化为关于t的方程f(t)＝0得t＝p，再解方程logax＝p，得到x＝ap，注意检验 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由换底公式可得log23＝＝＝.(　　) (2)lg 3·log310＝1.(　　) (3)log34·log45·log56·log67·log78·log89＝2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)计算：log34·log163＝________. (2)计算：log ·log3＝________. (3)已知lg 2≈0.3010，lg 7≈0.8451，则log228≈________(结果精确到0.0001)． 答案　(1)　(2)4　(3)4.8076 题型一 利用换底公式求值 例1　计算下列各式： (1)(log85＋log25)(log54＋log258)； (2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)． [解]　(1)解法一：原式＝ ＝ ＝×＝. 解法二：原式＝ ＝log25× ＝log24＋log28 ＝＋2＝. (2)解法一：原式＝＝＝·＝. 解法二：原式＝＝＝log23·log32＝. 解法三：原式＝(log23＋log2332)(log322＋log3223＋log32)＝log23·log32＝. 换底公式的作用 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用． 注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数. [跟踪训练1]　(1)计算：(log43＋log83). 解　原式＝· ＝·＋·＝＋＝. (2)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 解　解法一：原式＝＝＝log25·3log52＝13log25·＝13. 解法二：原式＝＝＝·＝13. 解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)(log52＋log5222＋log5323) ＝(log52＋log52＋log52) ＝log25·3log52＝3×＝13. 题型二条件求值 例2　(1)已知3a＝4b＝36，则＋的值为________. [解析]　解法一：∵3a＝4b＝36，∴a＝log336，b＝log436. 由换底公式，得＝log363，＝log364， ∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 解法二：∵3a＝4b＝36，同时取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636，即alog63＝2blog62＝2， ∴＝log63，＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1. 解法三：对3a＝4b＝36同时取常用对数，得alg 3＝blg 4＝lg 36，∴＝，＝， ∴＋＝＋＝＝1. [答案]　1 (2)已知lg 2＝a，lg 7＝b，用a，b表示log89.8的值． [解]　log89.8＝＝＝＝. 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化． [跟踪训练2]　(1)若15a＝5b＝3c＝25，则＋－＝________. 答案　1 解析　∵1