第2章 §3 第1课时 函数的单调性和最值-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 第1课时　函数的单调性和最值 (教师独具内容) 课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.函数最大值、最小值的含义及其几何意义.3.用图象法求一些函数的最值． 教学难点：对函数单调性、最大值、最小值定义的理解，求函数的最值. 知识点一　增函数、减函数的概念 设函数y＝f(x)的定义域是D. 如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增. 如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减. 知识点二　单调性、单调区间的概念 设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间．如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性.此时，区间I为函数y＝f(x)的单调区间. 知识点三　函数的最大值和最小值 设函数y＝f(x)的定义域是D. 若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最大值． 若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≥M，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为最值． 1．函数的单调性和单调区间 (1)函数的单调性是函数在某个区间上的性质．这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集．有的函数不具有单调性．例如，函数y＝它的定义域为R，但不具有单调性． (2)要求单调区间，先考查函数的定义域． (3)单调区间的书写：若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间(当然也可写成开区间)；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间． 当单调区间有两部分或两部分以上时，中间不能用并集符号，也不能用“或”字，只能用“，”号隔开或写“和”字． (4)图象变换对单调性的影响 上下平移不影响单调区间，即y＝f(x)和y＝f(x)＋b的单调区间相同． 左右平移影响单调区间． 2．函数的最值 (1)最值是函数的整体性质(即在函数的整个定义域内研究其最值)． (2)并不是每一个函数都有最值． (3)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　) (2)任何函数都有最大值或最小值．(　　) (3)增(减)函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．(　　) (4)若区间I是函数f(x)的一个单调递增区间，x1，x2∈I，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，从左至右图象是上升的还是下降的？________. (2)已知函数y＝f(x)的图象如图2所示，则该函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________. (3)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，此函数的最大值为________，最小值为________. 答案　(1)上升的 (2)(－∞，－1]，(1，＋∞)　[－1,1]　(3)3　－2 题型一　求单调区间并判断单调性 例1　(1)求函数y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间． [解]　令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及x轴上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示． 由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3]和[－1,1]． (2)作出函数f(x)＝＋的图象，并指出其单调区间． [解]　函数f(x)可化为 f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝ 作出函数f(x)的图象如图所示． 由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)． 常用画图象求单调区间 (1)对于函数单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出． (2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)． (3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域． [跟踪训练1]　(1)根据下图说出函数在每一单调区间上