第1章 §4 4.1 一元二次函数-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 4.1　一元二次函数 (教师独具内容) 课程标准：1.理解一元二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.掌握一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质.3.能运用配方法研究一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质.4.掌握一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标、对称轴方程、增减区间和最值求法． 教学重点：1.一元二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质.3.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质，顶点坐标、对称轴方程及最值求法． 教学难点：1.用配方法研究一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质.2.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值的求法. 知识点一　一元二次函数的定义 1．形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作一元二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为一元二次函数的一般式． 2．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a2＋＝a(x－h)2＋k， 其中h＝－，k＝. 解析式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)称为一元二次函数的顶点式． 知识点二　一元二次函数的图象的变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． 知识点三　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h. (2)当a>0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k. 当a<0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一元二次函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由一元二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(　　) (2)对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)来说，当x≥－时，函数值y随自变量x的增大而增大．(　　) (3)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值．(　　) (4)一元二次函数y1＝2x2与y2＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把一元二次函数y＝3x2的图象向________单位长度，再向________单位长度，得到一元二次函数y＝3(x＋5)2－2的图象． (2)一元二次函数y＝－2x2＋4x－3的图象的顶点坐标是________. (3)在区间________上，一元二次函数y＝－x2＋4x的函数值y随自变量x的增大而增大． 答案　(1)左平移5个　下平移2个　(2)(1，－1) (3)(－∞，2] 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　求一元二次函数的解析式 例1　已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个一元二次函数的解析式． [解]　设所求一元二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，则其顶点坐标为(h，k)． ∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为y＝a(x－1)2－3. 又函数图象经过点P(2,0)， ∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x. 求一元二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解． (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)． 当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解． (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k为常数，且a≠0)． 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，且a≠0)．当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的