第1章 §3 3.2 第2课时 基本不等式与最大(小)值-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 第2课时　基本不等式与最大(小)值 (教师独具内容) 课程标准：1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题． 教学重点：运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设. 知识点　基本不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值.(简记：和定积有最大值) (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2.(简记：积定和有最小值) 利用基本不等式的解题技巧与易错点 (1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元； ④平方后再用基本不等式． (2)易错点 ①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值； ③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到； ④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　) (2)当x>1时，因为x＋≥2，所以x＋的最小值是2.(　　) (3)x＋的最小值为2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________. (2)已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是________. (3)若a，b∈R＋，且a＋b＝2，则＋的最小值为________. 答案　(1)200　(2)60　(3)2 题型一 利用基本不等式求函数的最值 例1　(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值． [解]　∵y＝＋x＝＋(x－3)＋3， 又x>3，∴x－3>0，>0， ∴y≥2＋3＝5. 当且仅当＝x－3，即x＝4时，y有最小值5. (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． [解]　∵0<x<，∴1－3x>0， y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x) ≤2＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号． ∴当x＝时，函数取得最大值. (3)已知x＞－1，求y＝的最小值． [解]　∵x>－1，∴x＋1＞0， y＝ ＝ ＝x＋1＋＋1 ≥2＋1， 当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，函数y的最小值为2＋1. 利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件． (2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法． [跟踪训练1]　(1)已知x<，则函数y＝4x－2＋的最大值为________. 答案　1 解析　∵x<，∴5－4x>0. ∴y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝， 即x＝1时，上式等号成立． 故函数y＝4x－2＋的最大值为1. (2)若x>1，则函数y＝的最小值为________. 答案　4 解析　∵x>1，∴x－1>0.∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，故当x＝2时，函数y＝的最小值为4. 题型二 利用基本不等式求代数式的最值 例2　(1)已知x>0，y>0且＋＝1，求x＋y的最小值． [解]　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16， 当且仅当＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. (2)已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． [解]　∵2x＋y＋6＝xy， ∴y＝，x＞1，xy＝＝ ＝＝2 ＝2 ≥2×＝18. 当且仅当x＝3时，等号成立． 即xy的最小值为18. (3)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值． [解]　因为1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2， 所以(x＋y)2≤， 即x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1， 即x＝y＝时，等号成立． 故x＋y的最大值为. [结论探究]　若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值？ 解　＋＝≥＝＝， 又因为＋＝1， 所以≤1，≥6，xy≥36， 当且仅当y＝9x，即x＝2，y＝18时，等号成立． 所以xy的最小值为36. 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大