第1章 §3 3.2 第1课时 基本不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式． 教学重点：1.基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明． 教学难点：基本不等式条件的创造. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　基本不等式 若a≥0，b≥0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立.这个不等式称为基本不等式． 知识点二　算术平均值与几何平均值及相关结论 在基本不等式中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值． 因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤2≤(a，b∈R)． (2)≤≤ (a，b均为非负实数)． (3)＋≥2(a，b同号)． (4)(a＋b)≥4(a，b同号)． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件． (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立． (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2.(　　) (2)若a>0，b>0，则ab≤2.(　　) (3)|x|＋≥2.(　　) (4)若x∈R，则x2＋2＋的取值范围是[2，＋∞)．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________. (2)＋≥2成立的条件是________. (3)若x＞1，则x＋≥3等号成立的条件是________. 答案　(1)m＝1　(2)a与b同号　(3)x＝2 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一 对基本不等式的理解 例1　给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　从基本不等式成立的条件考虑． ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2＝4是错误的； ③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确． [答案]　D 基本不等式≥(a≥0，b≥0)的两个关注点 (1)不等式成立的条件：a，b都是非负实数． (2)“当且仅当”的含义 ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. [跟踪训练1]　下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2 B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4 C．当a＞4时，a＋≥2 ＝6 D．当a＞0，b＞0时，≥ 答案　B 解析　A项中，可能＜0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，≤(a＞0，b＞0)，所以不正确. 题型二 利用基本不等式比较大小 例2　已知a＞1，则，，三个数的大小顺序是(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜≤ [解析]　当a，b是正数时，≤≤≤(a，b∈R＋)，令b＝1，得≤≤.又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，选C. [答案]　C [题型探究]　对一切正数m，不等式n＜＋2m恒成立，求常数n的取值范围． 解　当m∈(0，＋∞)时，由基本不等式，得＋2m≥2＝4，当且仅当m＝时，等号成立，故常数n的取值范围为n＜4. 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． [跟踪训练2]　已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，试比较＋，，4的大小． 解　∵a＞0，b＞0，a＋b≥2，∴ab≤. ∴＋＝＝≥4， ＝＝－ab≥－＝， 即≤4. ∴＋≥4≥. 题型三 利用基本不等式证明不等式 例3　已知a，b，c是不全相等的三个正数， 求证：＋＋＞3. [证明