第1章 §3 3.1 不等式的性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 3.1　不等式的性质 (教师独具内容) 课程标准：1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式． 教学难点：用作差法比较代数式的大小. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两个实数大小的比较 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 知识点二　不等式的性质 (1)如果a>b，且b>c，那么a>c. (2)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (3)如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc. (4)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (5)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； 如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd. (6)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N＋，n≥2)； 如果a>b>0，那么>(n∈N＋，n≥2)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若x2＝0，则x≥0.(　　) (2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (3)若a>b，则ac2>bc2.(　　) (4)若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (2)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c>b－d B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c (3)已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________. 答案　(1)C　(2)C　(3)x2＋2>3x 题型一 作差法比较大小 例1　比较下列各组中两数的大小： (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2； (2)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x； (3)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小． [解]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2) ＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·. ∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0， ∴(x－1)<0， ∴x3－1<2x2－2x. (3)∵m－n＝＋－＝－ ＝＝， 又x，y均为正数， ∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0， 即m≥n(当x＝y时，等号成立)． 作差比较法的四个步骤 [跟踪训练1]　(1)比较x3＋6x与x2＋6的大小． 解　(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)． ∵x2＋6>0，∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6； 当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6； 当x<1时，x3＋6x<x2＋6. (2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． 解　x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b ＝(a－b)(a2＋1)． 当a＞b时，x－y＞0，∴x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，∴x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，∴x＜y. 题型二 作商法比较大小 例2　已知a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小． [解]　＝aa－bbb－a＝a－b， ①当a>b>0时，>1，a－b>0，∴a－b>1； ②当0<a<b时，0<<1，a－b<0，∴a－b>1. 综上可得，a－b>1. 又aabb>0，abba>0，∴aabb>abba. 作商法比较大小应注意的问题 作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子、分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤． [跟踪训练2]　已知a，b∈R＋，试比较aabb与(ab)的大小． 解　＝aa－bb－＝ab＝. ①若a＝b>0，则＝1，a－b＝0，∴aabb＝(ab). ②若a>b>0，则>1，a－b>0. 则>1.又aabb>0，(ab)>0， ∴aabb>(ab). ③若0<a<b，则0<<1，