第7章 §4 事件的独立性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 (教师独具内容) 课程标准：1.了解事件独立性的含义.2.结合古典概型，利用独立性计算概率． 教学重点：事件独立性的含义． 教学难点：独立事件同时发生的概率公式的应用. 知识点　相互独立事件 1．相互独立事件的概念 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．两个相互独立事件同时发生的概率计算公式：P(AB)＝P(A)P(B). 3．事件独立性 如果事件A与B相互独立，那么A与、与B、与也都相互独立． 1．事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之，若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B两事件也相互独立．该性质可推广为：若事件A1，A2，A3，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 2．互斥事件与相互独立事件的区别 “互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示不可能同时发生的两个事件，后者是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，而互斥的两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．两事件A，B相互独立是指事件A出现的概率与事件B是否出现没有关系，并不是说A，B间没有关系．相反若A，B独立，则常有AB≠∅，即A与B不互斥；A，B互斥是指A的出现必导致B的不出现，并没有说A出现的概率与B是否出现有关系．事实上，当P(A)>0，P(B)>0时，若A，B互斥，则AB＝∅，从而P(AB)＝0，但P(A)P(B)>0，因而等式P(AB)＝P(A)P(B)不成立，即互斥未必独立．若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)>0，从而A，B不互斥． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　) (3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________. (2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________. (3)已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P()＝________. 答案　(1)0.56　(2)(1－a)(1－b)　(3)　 题型一　事件独立性的判断 例1　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件． (3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}， ∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， ∴P(AB)＝P(A)P(B)， ∴事件A与事件B相互独立． (1)判别两个事件是否为相互独立事件可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件． (2)利用相互独立事件与公式P(AB)＝P(A)·P(B)的充要性可以判定两个事件是否相互独立．这是定量的计算方法． [跟踪训练1]　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 解　(1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，包含4个样本点，由等可能性知每个样本点