第1章 §4 4.2 一元二次不等式及其解法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．2　一元二次不等式及其解法 第一章　预备知识 课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法． 教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系. 1 核心概念掌握 PART ONE 集合 解集 {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 一元二次不等式的解法与步骤 (1)解一元二次不等式的常用方法 ①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及一元二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： (ⅰ)化不等式为标准形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； (ⅲ)由图象得出不等式的解集． ②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含有参数的一元二次型的不等式 在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．(　　) (3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx＋c＝0的解有关．(　　) (4)设二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两解为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集不可能为{x|x1<x<x2}．(　　) × √ √ × 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________. (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为__________. (3)当a>0时，若ax2＋bx＋c>0的解集为R，则Δ应满足的条件为________. (4)已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b＝________. R {x|－4<x<1} Δ<0 4 2 核心素养形成 PART TWO 解 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 解 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． [跟踪训练1]　求下列不等式的解集： (1)x2－3x＋1≤0； (2)3x2＋5x－2>0； (3)－9x2＋6x－1<0； (4)x2－4x＋5>0； (5)2x2＋x＋1<0. 解 解 例2　解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. 解 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 解 解 若a>0，原不等式可化为(x－1)<0，(*) 其解的情况应由与1的大小关系决定，故 ①当a＝1时，由(*)式，得x∈∅； ②当a>1时，由(*)式，得<x<1； ③当0<a<1时，由(*)式，得1<x<. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为. 解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知， ①当a<0或a>1时，a2>a. 解原不等式得x>a2或x<a； ②当0<a<1时，a2<a， 解