第1章 §3 3.2 第2课时 基本不等式与最大(小)值-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

§3　不等式 3．2　基本不等式 第2课时　基本不等式与最大(小)值 第一章　预备知识 课程标准：1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题． 教学重点：运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设. 1 核心概念掌握 PART ONE x＝y 大 x＝y 小 利用基本不等式的解题技巧与易错点 (1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元； ④平方后再用基本不等式． (2)易错点 ①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值； ③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到； ④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同． × × × 200 60 2 2 核心素养形成 PART TWO 题型一 利用基本不等式求函数的最值 解 解 解 利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件． (2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法． 答案　1 答案 解析 答案　4 答案 解析 解 题型二 利用基本不等式求代数式的最值 (2)已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． 解 (3)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值． 解 [结论探究]　若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值？ 解 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 解 (1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并写出x的取值范围； (2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 题型三 利用基本不等式解决实际问题 解 利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点 (1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域． (2)一般利用均值不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件． (3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号的情况，此时要利用其他方法求解． [跟踪训练3]　某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 答案 解析 解析　由题意，知a>0，b>0，对于A，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，A正确；对于B，当a＝b时，4个长方形为4个正方形，此时A1，B1，C1，D1四点重合，B正确；C显然错误；对于D，∵ab>0，∴4ab>0，∴a2＋b2＋2ab>a2＋b2－2ab，即(a＋b)2>(a－b)2，D正确．故选ABD. 3. (多选)如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中正确的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 答案 解析 解析 －10 5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的函数关系为y＝－10(x－6)2＋110(x∈N＋)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大． 解 4 课后课时精练 PART FOUR 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解析 答案　5 二、填空题 6．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大． 答案 解析 答案