热点专题03 解不等式及含参问题-2023-2024学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点专题03解不等式及含参问题 知识点1 一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2 二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 题型一 一元二次不等式的解法 【例1】下列四个不等式中解为一切实数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）下列不等式的解集是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】解下列不等式： (1)； (2)； 【变式1-2】求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式1-3】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 题型二 由一元二次不等式的解确定参数 【例3】（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【例4】若不等式有唯一解，则实数a=_____. 【变式2-1】（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【变式2-2】若一元二次不等式的解集是，那么不等式的解集是_____. 【变式2-3】关于的不等式的解集为，则的解集为_____. 题型三 解分式不等式 【例5】不等式的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【例6】不等式的解集为_____. 【变式3-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 解绝对值不等式 【例7】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例8】不等式的解为_____. 【变式4-1】已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）设，不等式的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】设，则“”是“”的_____（填充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）条件 题型五 二次函数的含参问题 【例9】当时，函数有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】（多选）已知二次函数在区间上的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如果函数的图象恒在轴下方，则实数的取值范围为_____． 【变式5-2】已知二次函数的最小值为，并且图象经过点和， (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，，求t的取值范围． 【变式5-3】设，，函数． (1)求不等式的解集； (2)若在上的最大值为，求的取值范围． 题型六 一元二次不等式的实际应用 【例11】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 【变式6-1】在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是_____. 【变式6-2】汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（