2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 第2课时　均值不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学重点：1.利用均值不等式证明不等式.2.利用均值不等式解决实际问题． 教学难点：均值不等式的综合应用． 核心素养：1.通过学习利用均值不等式证明不等式培养逻辑推理素养.2.通过学习利用均值不等式解决实际问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点一　利用均值不等式证明不等式 利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆、并、配等变形，使之达到能使用均值不等式的形式． 知识点二　利用均值不等式解决实际问题的一般步骤 (1)先读懂题意，设出变量，列出函数关系式； (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案． 1．利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意均值不等式成立的条件． (2)多次使用均值不等式，要注意等号能否成立． (3)对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用均值不等式证明． 2．利用均值不等式的解题技巧与易错点 (1)利用均值不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元； ④平方后再用均值不等式． (2)易错点 ①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②易忘“定”，用均值不等式时，和或积为定值； ③易忘“等”，用均值不等式要验证等号是否可以取到； ④易忘“同”，多次使用均值不等式时，等号成立的条件应相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>0，b>0，则a＋b＋≥2.(　　) (2)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则＋≤1恒成立．(　　) (3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是25 m2.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 (2)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________． 答案　(1)B　(2)20 题型一　利用均值不等式证明不等式 例1　已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3. [证明]　＋＋ ＝＋＋＋＋＋－3 ＝＋＋－3. ∵a，b，c都是正数， ∴＋≥2＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴＋＋＞6， ∴＋＋＞3. 利用均值不等式证明不等式 (1)利用均值不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤；≥(a>0，b>0)可变形为ab≤等．同时要从整体上把握均值不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． [跟踪训练1]　已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥10. 证明　＋＋＝＋＋ ＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号， ∴＋＋≥10. 题型二　均值不等式在实际问题中的应用 例2　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． [解]　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知ax＝360，得a＝， ∴y＝225x＋－360. ∵x>0， ∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440. 当且仅当225x＝时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 利用均值不等式解决实际问题的思路 利用均值不等式解决实际问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的实际问题出发，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢． [跟踪训练2]　某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限