2.2.1 不等式及其性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 2.2.1　不等式及其性质 (教师独具内容) 课程标准：1.理解不等式的概念.2.掌握不等式的性质． 教学重点：1.不等式的性质.2.用作差法比较代数式的大小.3.用不等式的性质证明不等式． 教学难点：用不等式的性质求取值范围． 核心素养：1.通过学习不等式的性质及推论培养数学抽象素养.2.通过应用不等式的性质及推论解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　不等式与不等关系 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 注意：a≥b⇔a>b或a＝b，a≤b⇔a<b或a＝b． 知识点二　比较两个实数大小的方法 (1)画数轴比较法 依据 ①实数与数轴上的点一一对应； ②一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x) 结论 数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大 (2)作差比较法 依据 a－b<0⇔a<b a－b＝0⇔a＝b a－b>0⇔a>b 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系即可 知识点三　不等式的性质及推论 (1)不等式的性质 性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c；(可加性) 性质4：如果a>b，b>c，那么a>c；(传递性) 性质5：a>b⇔b<a.(对称性) (2)不等式的推论 推论1：如果a＋b>c，那么a>c－b；(移项法则) 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；(同向可加性) 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；(同向同正可乘性) 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)；(可乘方性) 推论5：如果a>b>0，那么>.(可开方性) 知识点四　证明方法 (1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，从而证得不等式． (2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． (4)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、基本事实、定理等)为止．分析法中，最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 1．关于不等式性质的理解 两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. 2．常用的结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)b<0<a⇒>. (3)a>b>0，c>d>0⇒>. (4)若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 3．比较大小的方法 (1)作差：比较数(式)的大小常作差与0比较． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用． (2)作商：两数(式)为同号时，作商与1比较． 4．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性，但是不能相减，两边都是正数的同向不等式具有可乘性，但是不能相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若x2＝0，则x≥0.(　　) (2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (3)若a>b，则ac2>bc2.(　　) (4)若a>b>0，则>.(　　) (5)若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (2)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c>b－d B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c (3)已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________． 答案　(1)C　(2)C　(3)x2＋2>3x 题型一　作差法比较大小 例1　比较下列各组中两数的大小： (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； (2)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (3)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小． [