第三章 函数 章末总结-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 1．函数定义域的求法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域应由a≤g(x) ≤b解出； ②若函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①函数f(x)中的x与函数f(g(x))中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是x的范围． 2．同一个函数的判定方法 (1)定义域相同． (2)对应关系相同(两点必须同时具备)． 3．函数值域的求法 (1)配方法(二次或四次)． (2)判别式法． (3)换元法． (4)函数的单调性法． 4．函数解析式的求法 (1)配凑法． (2)换元法． (3)待定系数法． (4)方程组法． (5)赋值法． 5．判断函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量的值，且x1<x2. (2)判定f(x1)与f(x2)的大小：作差比较或作商比较． (3)根据单调性的定义下结论． 6．函数奇偶性的判断方法 首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数f(－x)与f(x)之间的关系：①若函数f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若函数f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数；若f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数；③若＝1(f(－x)≠0)，则f(x)为偶函数；若＝－1(f(－x)≠0)，则f(x)为奇函数． 7．方程的根与函数的零点 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． 8．函数零点的判断方法 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 注意：①由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点； ②当f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点； ③用二分法求函数零点的近似值时，应注意初始区间的选择． 9．函数的应用 解决函数应用题的关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，增加间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，及有关角度、面积、体积、造价的问题，培养实际问题数学化的意识和能力. 学科素养培优 一、函数的定义域 函数的定义域是指函数y＝f(x)中自变量x的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用． [典例1]　(1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　) A． B． C． D．∪ 解析　由题意，得解得x<1且x≠. 答案　D (2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　) A． B．[－1，4] C．[－5，5] D．[－3，7] 解析　设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定义域为[－1，4]．再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤，即函数y＝f(2x－1)的定义域是. 答案　A 二、分段函数问题 所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．分段函数求值等问题是高考常考的问题． [典例2]　已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 解析　①当1－a<1，即a>0时，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；②当1－a>1，即a<0时，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－，符合题意．综上所述，a＝－. 答案　－ 三、函数的单调性与奇偶性 单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的