专题08 圆与圆的位置关系8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题08 圆与圆的位置关系8种常见考法归类 1、圆与圆的位置关系的判断 （1）代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 （2）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法． 2、两圆相切问题 （1）圆与圆相切包含内切和外切两种情况． （2）两圆相切求解方法： ①几何法．利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切． ②代数法．将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解． 3、两圆相交问题 （1）两圆相交时，将两个方程化成一般式，然后作差即可求得公共弦所在的直线方程． （2）两圆公共弦长求法： 将公共弦所在直线的方程与其中一个圆方程联立，利用勾股定理AB＝2求得． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 5、判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径． (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 注：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 6、由圆的位置关系确定参数或范围 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： 1化成圆的标准方程，写出圆心和半径； 2计算两圆圆心的距离d； 3通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. 7、处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． 8、求两圆的公共弦所在直线的方程的方法： 将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． 9、求两圆公共弦长的方法： 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 10、利用圆系方程求圆的方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是： （） （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． （5）过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 圆与圆的位置关系的判断 考点二 求两圆的交点 考点三 由圆的位置关系确定参数 考点四 求两圆的公共弦方程、公共弦长 考点五 圆的公切线条数 考点六 圆的公切线方程 考点七 圆的公切线长 考点八