专题07 直线与圆的位置关系7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题07 直线与圆的位置关系7种常见考法归类 1．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 注意点： 直线与圆的位置关系常用几何方法判断． 3.求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有2＋d2＝r2， 即AB＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB ＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)． 注意点： (1)弦长公式的前提是判别式大于零． (2)斜率不存在时AB＝|y1－y2|. 4.与圆的切线相关的结论 (1)过圆上一点的圆的切线方程为； (2)过上一点的圆的切线方程为 (3)过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： (4)若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. (5)圆心的三个重要几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； 5.直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 6.求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条． 注：点在圆外，切线一定有两条，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 7.直线截圆所得弦长问题 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式． ①利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长l之间的关系＋d2＝r2解题． ②利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． ③利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 8.直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程； (3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 判断直线与圆的位置关系 考点二 由直线与圆的位置关系求参数 考点三 求直线与圆的交点坐标 考点四 直线与圆的切线问题 （一）求过圆上一点的切线方程 （二）求过圆外一点的切线方程 （三）求切线长 （四）已知切线求参数 考点五 直线与圆的弦长问题 （一）求弦长问题 （二）已知弦长求参数 （三）切点弦问题 考点六 直线与圆的位置关系求距离的最值问题 考点七 直线与圆的方程的应用 考点一 判断直线与圆的位置关系 1．（2023秋·北京·高二首都师范大学附属中学校考期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 2．（2023·江苏·高二专题练习）直线与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（2023·全国·高三专题练习）设、且，直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 4．（2023