2023-2024学年重庆八年级上数学期末复习分类汇编：几何综合比值、角度、中点

2023-2024年重庆八年级上数学期末复习分类汇编： 几何综合比值、角度、中点 一、比值问题 1．在等边中，D为上一点，E为上一点，过B作，连接，，且． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由． (3)如图3，若D为延长线上一点，E为延长线上一点，，请直接写出的比值． 2．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 3．已知：中，，，连接，在直线右侧作, (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 4．在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BEAC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°． (1)如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长． (2)如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由． (3)如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值． 二、倍长中线 5．在中，，，D是边上一动点（D不与A、C两点重合），连接． (1)如图1，当平分时，若，求的长； (2)如图2，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，取的中点F，连接． ①猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，点K在边上，且，连接．当取最小值时，直接写出的值． 6．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______． 这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______． 7．已知点是等边的边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转120°得到线段，连接． (1)如图1，连接，若，且，，求线段的长； (2)如图2，若点为线段的中点，连接、，求证：． 三、角度问题 8．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s． （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△PBQ是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 9．（1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点作于点，于点，证明（不需要证明） （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上， ①证明：； ②请判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 10．在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且DE＝CD，连接BE． (1)如图1，若∠DBE＝30°，BE＝6，AE＝4，求△ACD的面积； (2)如图2，E为AD中点，F为BE上一点，连接AF，若∠DBE＝∠CAD＝∠AFE，求证AF＝2CD； (3)如图3，若∠DBE＝∠CAD，M是直线BC上一动点，连接AM并绕A点逆时针旋转90°，得到AN，连接DN，EN．当DN长度最小时，请直接写出∠ABE与∠DNE所满足的等量关系 四、解答题 11．在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点且，，．探究：当、分在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是什么，此时与的比值为多少？ (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，若，