5.1.2 弧度制-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 5.1.2　弧度制 (教师独具内容) 课程标准：1.了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.体会引入弧度制的必要性． 教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：角度与弧度的互化及扇形面积公式的运用． 核心素养：1.通过弧度制概念的学习，培养数学抽象素养.2.借助弧度制与角度制的互化，提升数学运算素养． 知识点一　度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1__rad． 知识点二　弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 知识点三　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2． (1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去． (3)如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度． (4)角度制和弧度制表示角时不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (3)160°化为弧度制是.(　　) (4)用弧度表示的都是正角．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)化为角度是________． (2)75°化为弧度是________． (3)半径为3，圆心角为60°的扇形的面积为________． (4)若圆的半径为r，则该圆上长为2r的弧所对的圆心角为________． 答案　(1)252°　(2)　(3)　(4)2 题型一　角度与弧度的互化 例1　(1)将下列角度与弧度进行互化： ①20°＝________；②－15°＝________； ③＝________；④－＝________． [解析]　①20°＝20×＝.②－15°＝－15×＝－.③＝×()°＝105°.④－＝－×()°＝－396°. [答案]　①　②－　③105°　④－396° (2)把－157°30′化成弧度为________． [解析]　－157°30′＝－157.5°＝－×＝－. [答案]　－ 弧度与角度的互化 在进行弧度与角度的互化时，要牢记π rad＝180°.将角度转化为弧度时，要先把带有分、秒的部分化为度，然后用度数乘以即可．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以()°即可． [跟踪训练1]　(2023·湖南长沙一中高一上月考)将下列各角度与弧度互化： (1)67.5°；(2)112°30′；(3)；(4)3. 解　(1)67.5°＝67.5×＝. (2)112°30′＝112.5°＝112.5×＝. (3)＝×()°＝405°. (4)3＝3×()°≈3×57.30°＝171.90°. 题型二　利用弧度制表示角 例2　(1)在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________(用弧度表示)． [解析]　因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z), 当k＝0时，θ＝72°＝；当k＝1时，θ＝432°＝，所以在[0，4π]中与72°角终边相同的角有，. [答案]　， (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)． [解]　①以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)． ∴终边落在阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}． ②以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．不妨设终边落在右边阴影部分内的角的集合为M1，终边落在左边阴影部分内的角的集合为M2， 则M1＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}， M2＝{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}． ∴终边落在阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝{α|2kπ<α<＋2kπ