4.5.3 函数模型的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.5.3　函数模型的应用 (教师独具内容) 课程标准：收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 教学重点：建立函数模型刻画实际问题． 教学难点：函数模型的建立． 核心素养：借助本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升数学建模素养和数据分析素养． 知识点　 建立函数模型解决问题的基本过程 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　　) (3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)根据日常生活中的四个实际问题，现各收集到五组数据，在平面直角坐标系中画出散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　) (2)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组对应数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x (3)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2023年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2023年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝(1－0.0550－x)·m 答案　(1)B　(2)D　(3)A 题型一　指数函数模型的应用 例1　某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 [解析]　因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.当t＝8时，真菌数为y＝10×28＝2560. [答案]　C 函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． [跟踪训练1]　(2023·江西新余第一中学高一上月考)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c·()mt(c，m为常数)． (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问：至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？ 解　(1)由题意可得 解得 故c，m的值分别为128，. (2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤()8，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态． 题型二　对数函数模型的应用 例2　有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30，31.2≈3.74，31.4≈4.66)． (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度约为多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少个单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ [解]　(1)由题意，x0＝2，x＝8100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故候鸟的飞行速度约为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0， 可得0＝log3－lg 5，即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)， 解得x≈466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位． (3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相