4.5.2 用二分法求方程的近似解-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.5.2　用二分法求方程的近似解 (教师独具内容) 课程标准：1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性． 教学重点：掌握用二分法求方程近似解的一般步骤． 教学难点：利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 核心素养：通过本节内容的学习，使学生掌握求方程近似解的方法，提升数据分析素养和数学运算素养． 知识点一　二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点二　用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0． (2)求区间(a，b)的中点c． (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求函数f(x)＝x2的零点近似值可以用二分法．(　　) (2)用二分法求出的函数零点就是精确值．(　　) (3)用“二分法”求方程的近似解时，精确度ε越大，零点的精确度越高．(　　) (4)精确度ε就是近似值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　) (2)用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　　) A．|x1－x2|＞ε B．|x1－x2|＜ε C．x1＜ε＜x2 D．x2＜ε＜x1 (3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间(2，3)的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________． 答案　(1)A　(2)B　(3)(2，2.5) 题型一　二分法的概念 例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　) A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 [解析]　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求其零点近似值的个数为3. [答案]　C 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． [跟踪训练1]　以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　C 解析　由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0，即函数的零点是变号零点时，才能用二分法求函数零点的近似值．对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 例2　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)． [解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)f(1)＜0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点． 即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0， 又f(1)＞0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b) f(c) (0，1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5) ＜0 f(0.75) ＞0 f(0.625) ＜0 (0.625，0.75) 0.6875 f(0.625) ＜0 f(0.75) ＞0 f(0.6875) ＜0 (0.6875，0.75) |0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1 　　因为|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，