4.5.1 函数的零点与方程的解-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.5.1　函数的零点与方程的解 (教师独具内容) 课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 教学重点：函数零点存在定理及应用． 教学难点：会判断函数零点所在的区间及函数零点的个数． 核心素养：1.借助零点的求法，培养数学运算素养和逻辑推理素养.2.借助函数的零点与方程解的关系，培养直观想象素养． 知识点一　函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标． 知识点二　方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (2)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点．(　　) (2)函数y＝2x－1的零点是(，0)．(　　) (3)函数f(x)＝x2＋x＋1有零点．(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则一定有f(a)f(b)＜0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)函数f(x)＝lg x的零点是(　　) A．2 B．3 C．5 D．1 (2)函数f(x)＝2x－(x>0)的零点所在的区间是(　　) A．(1，＋∞) B．(，1) C．(，) D．(，) (3)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若ac＜0，则函数有________个零点． (4)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(1)＜0，f(1.3)＜0，f(1.5)＞0，则可以确定零点所在的区间为________． 答案　(1)D　(2)B　(3)2　(4)(1.3，1.5) 题型一　求函数的零点 例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝. [解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数f(x)的零点是－1，－6. (2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数f(x)的零点是－1. (3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数f(x)的零点是log26. (4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数f(x)的零点为－6. 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法： (1)令y＝0，方程f(x)＝0的解就是函数的零点； (2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． [跟踪训练1]　(1)求函数f(x)＝ 的零点． 解　当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 解　由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0， 所以b＝3a， 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－， 所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－. 题型二　函数零点个数问题 [命题角度1]　判断函数零点个数 例2　判断函数f(x)的零点个数． (1)f(x)＝x2＋mx＋1(m∈R)； (2)f(x)＝x3－()x. [解]　(1)Δ＝m2－4×1×1＝m2－4， ①当Δ<0，即m2－4<0时，解得－2<m<2，此时方程f(x)＝0无解，函数f(x)无零点； ②当Δ＝0，即m2－4＝0时，解得m＝±2，此时方程f(x)＝0有两个相等的实数根，函数f(x)只有一个零点；