4.4.3 不同函数增长的差异-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.4.3　不同函数增长的差异 (教师独具内容) 课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等术语的现实含义． 教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等不同函数类型增长的含义． 教学难点：指数函数、幂函数在不同区间增长快慢的差异． 核心素养：借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算素养和数学建模素养． 知识点　 三种函数的性质及增长速度比较 一次函数 指数函数 对数函数 解析式 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 图象(随x的增大) 直线逐渐上升 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 增长速度(随x的增大) y的增长速度不变 y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 增长关系 存在一个x0，当x＞x0时，ax＞kx＞logax 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　) (2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(　　) (3)对数函数y＝logax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)下列函数中y随x的增大而增大且增大的速度越来越快的是(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝100x D．y＝e－x (2)如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　) A．一次函数 B．幂函数 C．对数函数 D．指数函数 答案　(1)A　(2)C 题型一　函数模型增长差异的比较 例1　甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x>1时，甲走在最前面； ②当x>1时，乙走在最前面； ③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲． 其中正确结论的序号为________． [解析]　在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得 ①错误，因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以当x＝2时，乙在甲的前面； ②错误，因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)>f2(5)，所以当x＝5时，甲在乙的前面； ③正确，当0<x<1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，即丁走在最前面；当x>1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面； ④正确，当0<x<1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱； ⑤正确，当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)图象的上方，所以最终走在最前面的是甲． [答案]　③④⑤ 常见的函数模型及增长特点 (1)一次函数模型 一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． [跟踪训练1]　(1)下列函数中，增长速度越来越快的是(　　) A．y＝2023x B．y＝2023 C．y＝log2023x D．y＝2023x 答案　A 解析　指数函数y＝ax，在a