4.4.2 第2课时 对数函数性质的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第2课时　对数函数性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性.2.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 教学重点：对数函数的单调性及应用． 教学难点：对数函数性质的综合应用． 核心素养：借助对数函数性质的综合应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域． 知识点二　指数函数与对数函数的关系 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1) 图象 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 单调性 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 函数值的变化情况 当a＞1时，若x＞0，则y＞1；若x＜0，则0＜y＜1.当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1；若x＜0，则y＞1 当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0.当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0 (1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示： 函数y＝f(x) 反函数y＝g(x) 定义域 A C 值域 C A (2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． (3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　) (2)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．(　　) (3)ln x＜1的解集为(－∞，e)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，9)，则a＝(　　) A. B．2 C. D．3 (2)函数y＝()x的反函数为________． (3)已知loga3＞loga2，则a的取值范围为________． 答案　(1)D　(2)y＝logx　(3)(1，＋∞) 题型一　反函数的应用 例1　写出下列函数的反函数： (1)y＝3x；(2) ；(3)y＝2x＋1. [解]　(1)y＝3x的反函数是y＝log3x(x＞0)． (2)由y＝，得x＝()y，所以函数y＝logx的反函数为y＝()x(x∈R)． (3)由y＝2x＋1，得y－1＝2x， 所以x＝log2(y－1)． 所以y＝2x＋1的反函数为y＝log2(x－1)(x>1)． 1．求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域； (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝g(y)； (3)把x＝g(y)改写成y＝g(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2．(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． [跟踪训练1]　若函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象过点(1，8)，其反函数的图象过点(16，2)，求函数f(x)的解析式． 解　∵函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象过点(1，8)，∴代入得a1＋b＝8.　① ∵其反函数的图象过点(16，2)， ∴函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象过点(2，16)，代入得a2＋b＝16.　② 联立①②，解得a＝2，b＝2.∴f(x)＝2x＋2. 题型二　解对数不等式 例2　已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域； (2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围． [解]　(1)由解得1＜x＜3， ∴函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|1＜x＜3}． (2)不等式f(x)≤g(x)， 即loga(x－1)≤loga(6－2x)， ①当a＞1时，不等式等价于 解得1＜x≤； ②当0＜a＜1时，不等式等价于 解得≤x＜3. 综上可得，当a＞1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围为(1，]； 当0＜a＜1时，不等式f(x)≤g(x)中x