4.3.2 对数的运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.3.2　对数的运算 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的运算性质.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进行求值、化简． 教学难点：对数的运算性质和换底公式的灵活运用． 核心素养：1.通过利用对数的运算性质化简、求值，提升数学运算素养.2.借助换底公式的应用，培养逻辑推理素养． 知识点一　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点二　换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且a≠1，m≠0)． 推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)loga(27－16)＝loga27－loga16.(　　) (3)＝loga2.(　　) (4)log2(－2)3＝3log2(－2)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)计算log69＋log64＝(　　) A．log62 B．2 C．log63 D．3 (2)计算log550－log52＝(　　) A．log548 B．2 C．log5100 D．3 (3)计算log2781＝________． (4)的值为________． 答案　(1)B　(2)B　(3)　(4)2 题型一　对数运算性质的应用 例1　计算下列各式的值： (1)lg －lg ＋lg ； (2)lg 52＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (3). [解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝＝＝＝. 对数式化简与求值的原则和方法 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． [跟踪训练1]　计算下列各式的值： (1)； (2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50＋21＋log25. 解　(1)解法一(正用公式)： 原式＝ ＝＝. 解法二(逆用公式)： 原式＝ ＝＝. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21× ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2. 题型二　换底公式的应用 例2　已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． [解]　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝＝＝ ＝＝. [结论探究]　若本例条件不变，如何求log915(用a，b表示)? 解　因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝. [条件探究]　若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log918＝a，9b＝5”，又如何求解呢？ 解　因为9b＝5，所以log95＝b. 所以log3645＝＝＝＝. 又log918＝a，所以log9(2×9)＝a，即log92＋log99＝a，所以log92＋1＝a，所以log94＋1＝a，所以log94＝2(a－1)，故log3645＝＝. 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 [跟踪训练2]　计算：(1)(log43＋log83)； (2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 解　(1)原式＝(＋)＝×＋×＝＋＝. (2)解法一：原式＝(log253＋＋)·(log52＋＋) ＝(3log25＋＋)(log52＋＋)＝(3＋1＋)log25×3log52 ＝13log2