4.3.1 对数的概念-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.3.1　对数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的概念，了解常用对数与自然对数.2.理解对数的简单性质． 教学重点：1.对数的概念.2.指数式与对数式的互化.3.对数的简单性质． 教学难点：1.对数概念的理解.2.指数式与对数式之间的转化． 核心素养：借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N(其中e＝2.71828…)． (3)对数式与指数式的关系 知识点二　对数的基本性质 (1)对数的性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0，且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)log32＝x化成指数式为2x＝3.(　　) (3)因为(－2)2＝4，所以log(－2)4＝2.(　　) (4)log53与log35的意义相同．(　　) (5)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)若a2＝M(a>0，且a≠1)，则(　　) A．logaM＝2 B．log2M＝a C．loga2＝M D．log2a＝M (2)log31＋log55＝________． (3)将对数式x＝log28化为指数式为________． (4)已知log3＝0，则x＝________． 答案　(1)A　(2)1　(3)2x＝8　(4)2 题型一　对数的概念 例1　(1)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A．(0，) B．(，＋∞) C．(－∞，) D．(－∞，－) [解析]　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<，所以x的取值范围为(－∞，)．故选C. [答案]　C (2)在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5) C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4) [解析]　由题意，得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C 对数有意义的条件 (1)底数大于零且不等于1. (2)对数的真数必须大于零． [跟踪训练1]　(1)(2023·福建同安第一中学高一上月考)函数f(x)＝中x的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　要使函数有意义，必有解得x>－1且x≠1.故选C. (2)若log(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围． 解　若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以解得x>且x≠1. 即x的取值范围是. 题型二　指数式与对数式的互化 例2　将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝；(2) ＝－4； (3)lg 1000＝3；(4)ln x＝2. [解]　(1)由2－7＝， 可得log2＝－7. (2)由＝－4，可得()－4＝81. (3)由lg 1000＝3，可得103＝1000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [跟踪训练2]　将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2) ＝－3； (3)43＝64；(4)