4.2.2 指数函数的图象和性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.2.2　指数函数的图象和性质 (教师独具内容) 课程标准：1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.学会用函数的图象和代数运算的方法研究指数函数的性质． 教学重点：掌握指数函数的图象和性质． 教学难点：指数函数性质的应用． 核心素养：1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象素养.2.借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 知识点二　不同底指数函数图象的相对位置 　(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 1．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． (1)当a>b>1时， ①若x>0，则ax>bx>1； ②若x<0，则1>bx>ax>0. (2)当1>a>b>0时， ①若x>0，则1>ax>bx>0； ②若x<0，则bx>ax>1. 2．与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象都在x轴上方．(　　) (2)函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(　　) (4)对于任意x∈R，一定有4x>3x.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)若0<a<1，则函数f(x)＝ax＋6的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 (2)当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2＋1的图象过定点________． (3)函数f(x)＝()x在[－1，1]上的最大值为________． 答案　(1)A　(2)(2，2)　(3)3 题型一　指数函数的图象及应用 例1　(1)(2023·广东梅州兴宁市叶塘中学高一上期中)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．所以a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. [答案]　B (2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________． [解析]　解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)． 解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函