4.2.1 指数函数的概念-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.2.1　指数函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 教学重点：1.指数函数的概念.2.指数函数的实际应用． 教学难点：指数函数的实际应用． 核心素养：1.通过教材中的实例抽象出指数函数概念的过程，发展数学抽象素养.2.借助指数函数的实际应用，培养数学建模素养． 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 知识点二　指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 指数函数中规定a>0，且a≠1的原因 (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)下列函数一定是指数函数的是(　　) A．y＝3·2x B．y＝2x＋1 C．y＝x3 D．y＝3－x (2)若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(1，) C．(－∞，1)∪(1，) D．(－∞，) (3)若指数函数f(x)的图象过点(2，4)，则指数函数f(x)的解析式为________． 答案　(1)D　(2)C　(3)f(x)＝2x 题型一　指数函数的概念 例1　下列函数中，指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x. A．1 B．2 C．3 D．0 [解析]　①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0，且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D. [答案]　D (1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． [跟踪训练1]　若函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，则a＝________． 答案　－1 解析　因为函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，所以a2＝1，2－a>0，且2－a≠1，解得a＝－1. 题型二　指数函数的解析式及应用 例2　(1)若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则的值为(　　) A. B．1 C．2 D．0 [解析]　∵点(a，27)在函数y＝()x的图象上，∴27＝()a，即33＝3，∴＝3，解得a＝6，∴＝. [答案]　A (2)指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，那么f(4)f(2)＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 [解析]　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，可得a－2＝，解得a＝2. ∴函数的解析式为y＝2x，故f(4)f(2)＝24×22＝64. [答案]　D 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)写出指数函数的解析式． [跟踪训练2]　指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，)，则f(－π)＝________． 答案　 解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由题意知，f(π)＝aπ＝，∴a＝.∴f(x)＝.∴f(－π)＝＝()－1＝. 题型三　指数型函数的实际应用 例3　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)． [解]　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； … 故y关于x的函数解析式为