4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对实数指数幂ax(a＞0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算性质． 教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解． 核心素养：1.通过对实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养.2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养． 知识点一　无理数指数幂 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点二　实数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 1．对于实数a＞0，r，s有ar÷as＝ar－s成立． 2．化简指数幂的几个常用技巧如下： (1)()－p＝()p(ab≠0)； (2)a＝(a)m，a＝(a)n(a使式子有意义)； (3)1的代换，如1＝a－1a，1＝a－a (a使式子有意义)等； (4)乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)·(a∓ab＋b)＝a±b(a，b均使式子有意义)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)无理数指数幂有的不是实数．(　　) (2)指数幂ax(a>0)中的x可以是任意实数．(　　) (3)(2)2＝4.(　　) (4)[()－2] ＝()－1＝.(　　) (5) ＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．做一做 (1)(4－)＝(　　) A. B．－ C. D．－ (2)()×9π＝(　　) A．3π－ B．32π－ C．()2π－ D．()2π＋ (3)0.027＝________． (4)若2α＝3，2β＝5，则2α＋β＝________． (5)若x－x－＝5，则的值为________． 答案　(1)C　(2)B　(3)0.09　(4)15　(5)27 题型一　无理数指数幂的运算 例1　计算下列各式： (1) (2) (3)已知a＝，b＝，c＝，求的值． [解]　(1)原式＝＝36×22＝2916. (2)原式＝＝. (3)原式＝＝. 关于无理数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算． (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． [跟踪训练1]　计算下列各式： (1) ；(2) . 解　(1)原式＝. (2)原式＝. 题型二　指数幂的运算 例2　计算下列各式： (1)(2)0＋2－2×(2)－－0.010.5； (2)－＋＋[(0.064)－2.5] －π0； (3)() －· (a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝. (2)原式＝()－()＋()＋－1＝－＋＋()－1－1＝3. (3)原式＝＝a0b0＝. 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． [跟踪训练2]　计算下列各式(式子中字母都是正数)： (1)0.027＋()－－(2)0.5； (2)(－2ab－)·(－ab－)6÷(－2ab－)2. 解　(1)0.027＋()－－(2)0.5 ＝()2＋－ ＝＋－＝. (2)原式＝(－2a＋3b－－2)÷(4ab－) ＝－·a－·b－＋＝－. 题型三　指数幂运算中的条件求值 例3　已知a＋a－＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解]　(1)将a＋a－＝4两边平方，得 a＋a－1＋2＝16， 故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194. [结论探究1]　在本例条件不变的情况下，求a－a－1的值． 解　令a－a－1＝t，则两边平方，得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192， ∴t＝±8，即a－a－1＝±8. [结论探究2]　在本例条件不变的情况下，求a2－a－2的值． 解　由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝