2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第2课时　一元二次不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题． 教学重点：1.分式不等式的求解.2.与一元二次不等式有关的恒成立问题.3.利用一元二次不等式求解实际问题． 教学难点：能够从实际生活中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． 核心素养：1.通过学习分式不等式的求解，解决一元二次不等式恒成立问题，提升数学抽象素养.2.通过利用一元二次不等式求解实际问题，提升数学建模素养． 知识点一　简单的分式不等式的解法 知识点二　一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点三　利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义．(　　) (2)不等式≥0的解集为{x|x≤0，或x≥1}．(　　) (3)不等式<0的解集为{x|－1<x<1}．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝________． (2)若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台． (3)已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为________． 答案　(1){x|0<x≤1}　(2)150 (3) 题型一　简单分式不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)≥0；(2)>1. [解]　(1)原不等式等价于 即 解得－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}． (2)原不等式可化为－1>0，即<0，等价于(3x－2)(4x－3)<0，∴<x<. ∴原不等式的解集为. (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，再用上述方法求解． [跟踪训练1]　解下列不等式： (1)<0；(2)≤2. 解　(1)由<0得>0， 此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0， ∴x<－2或x>1， ∴原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}． (2)不等式移项得－2≤0， 化简得≤0，即≥0， ∴ ∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2，或x≥5}． 题型二　不等式恒成立问题 例2　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解]　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则⇒－4<m<0. ∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}． (2)y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝(x－)2＋>0， ∴m<. ∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为，∴只需m<即可． ∴m的取值范围为. 在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中，除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外，还要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． [跟踪训练2]　若不等式x2＋mx>4x＋m－3对于满足1≤m≤4的所有数m恒成立，求实数x的取值范围． 解　不等式x2＋mx>4x＋m－3⇔(x－1)m＋x2－4x＋3>0.设y＝(x－1)m＋x2－4x＋3，其中m为自变量，x为参数，即y是关于m的函数． ①当x＝1时，y恒等于0，即y>0不成立，即x2＋mx>4x＋m－3不成立． ②当x≠1时，易得 ⇔⇔ 解得x<－1或x>2. 综上所述，实数x的取值范围是{x|x<－1，或x>2}． 题型三　一元二次不等式的实际应用 例3　某商品每件成本价80元，售价100元时，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，则售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． [解]　(1)依题意，得 y＝100(1－)×100(1＋x)