2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第1课时　一元二次不等式的解法 (教师独具内容) 课程标准：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系． 教学重点：1.三个“二次”之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：三个“二次”之间的关系． 核心素养：1.通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，提升数学抽象素养.2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.3.通过解一元二次不等式，培养数学运算素养． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　) (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 (2)不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　) A. B. C. D．R (3)不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　) A. B. C. D. (4)不等式－3x2＋x－4>0的解集为________． 答案　(1)C　(2)C　(3)A　(4)∅ 题型一　一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0； (3)－2x2＋x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0. [解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集为{x|x<－，或x>2}． (2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}． (3)原不等式可化为2x2－x＋3>0， ∵Δ<0，方程2x2－x＋3＝0无解， ∴不等式－2x2＋x－3<0的解集为R. (4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0， ∵Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为{x|<x<1}． 解不含参数的一元二次不等式的方法与步骤 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为标准形式后借助因式分解求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． [跟踪训练1]　求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6. 解　(1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0， ∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6， ∴不等式x2－5x>6的解集为{x|x<－1，或x>6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， 方程(2x－1)2＝0的根为x＝. ∴不等式4x2－