2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第2课时　基本不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.能用基本不等式来进行简单的证明.2.能用基本不等式解决实际问题中的最值问题． 教学重点：1.不等式的证明过程中式子的变形、转化.2.把实际问题抽象为数学中关于函数的最值问题． 教学难点：理解和识别实际问题中的数量关系，判断能否转化为基本不等式的数学模型． 核心素养：借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 知识点一　利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆、并、配等变形，使之达到能使用基本不等式的形式． 知识点二　利用基本不等式解决实际问题的一般步骤 (1)先读懂题意，设出变量，列出函数关系式； (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>0，b>0，则a＋b＋≥2.(　　) (2)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则＋≤1恒成立．(　　) (3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是25 m2.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 (2)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 答案　(1)B　(2)20 题型一　利用基本不等式证明不等式 例1　已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3. [证明]　 ＋＋ ＝＋＋＋＋＋－3 ＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3. ∵a，b，c都是正数， ∴＋≥2＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴(＋)＋(＋)＋(＋)＞6， ∴＋＋＞3. 利用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤；≥(a>0，b>0)可变形为ab≤等．同时要从整体上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． [跟踪训练1]　已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10. 证明　＋＋ ＝＋＋ ＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号， ∴＋＋≥10. 题型二　基本不等式在实际问题中的应用 例2　(2023·福建泉州晋江市磁灶中学高一上第一次阶段考试)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． [解]　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知ax＝360，得a＝， ∴y＝225x＋－360. ∵x>0， ∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440， 当且仅当225x＝时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢． [跟踪训练2]　(2023·湖北孝感高级中学高一上质检)某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为(3＋) L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机的工资为每小时76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资) 解　设总费用为y元． 由题意，得y＝76.4×＋7.2××(3＋)＝＋2x(40≤x≤100)．