2.2 第1课时 基本不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第1课时　基本不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握基本不等式≤(a，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式解决最值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设． 核心素养：1.通过基本不等式的证明，培养逻辑推理素养.2.借助基本不等式解决最值问题，提升数学运算素养． 知识点一　基本不等式 如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立．通常称这个不等式为基本不等式． 知识点二　算术平均数与几何平均数及相关结论 在基本不等式中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点三　基本不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值．(简记：和定积有最大值) (2)若xy＝P(P为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2．(简记：积定和有最小值) 1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤()2≤(a，b∈R)． (2)≤≤(a，b均为正实数)． (3)＋≥2(a，b同号)． (4)(a＋b)(＋)≥4(a，b同号)． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．基本不等式的推广 一般地，若a1，a2，a3是正实数，则有≥，当且仅当a1＝a2＝a3时取等号． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝2.(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤()2.(　　) (4)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.(　　) (5)当x>1时，x＋≥2，所以x＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)设x，y均为正数，且x＋4y＝4，则xy的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．16 (2)＋≥2成立的条件是________． (3)若x<1，则x＋的最大值为________． (4)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值为________． 答案　(1)A　(2)a与b同号　(3)－1　(4)2 题型一　对基本不等式的理解 例1　给出下面三个推导过程： ①因为a>0，b>0，所以＋≥2＝2； ②因为a>0，所以a2－1＋≥ 2＝2； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　①因为a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为当a>0时，a2－1不一定为正，所以②的推导过程错误；③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，(－)，(－)均为正数，符合基本不等式成立的条件，故③的推导过程正确． [答案]　D 基本不等式≥(a>0，b>0)的两个关注点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正实数． (2)“当且仅当”的含义 ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. [跟踪训练1]　下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋>2＝2； ②若x<0，则x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2＝－4； ③若x，y∈R，则|x＋|＝|x|＋≥2. 答案　①② 解析　③中当x，y异号时，不成立． 题型二　利用基本不等式比较大小 例2　已知a>0，b>0，且a≠b，则，，，中最小的是________． [解析]　解法一：∵＝≤＝≤，又2ab≤a2＋b2，∴(a＋b)2≤2(a2＋b2)，∴≤，∴≤.综上所述，≤≤≤(当且仅当a＝b时等号成立)．又a≠b，∴<<<，∴最小． 解法二(特殊值法)：令a＝4，b＝2，则＝3，＝2，＝，＝，∴最小． [答案]　 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． [跟踪训练2]　已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是________． 答案　a＋b 解析　因为0<a<1，0<b<1，a≠b，所以a2＋b2>2ab，a＋b>2.所以最大的只能是a2＋b2与a＋b其中之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(