2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第2课时　等式性质与不等式性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握不等式的性质． 教学重点：1.能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实际问题． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.通过利用不等式的性质证明不等式，培养逻辑推理素养.2.通过大小比较及利用不等式求范围，提升数学运算素养． 知识点　 等式与不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a a>b⇔b<a a＝b，b＝c⇒a＝c a>b，b>c⇒a>c a＝b⇔a±c＝b±c a>b⇔a＋c>b＋c a＝b⇒ac＝bc a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc a＝b，c≠0⇔＝ a>b，c>d⇒a＋c>b＋d — a>b>0，c>d>0⇒ac>bd — a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 1．关于不等式性质的理解 两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. 2．常用的结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)b<0<a⇒>. (3)a>b>0，c>d>0⇒>. (4)若a>b>0，m>0，则>，<(b－m>0)，<，>(b－m>0)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b且c>d，则a－c>b－d.(　　) (2)若a>b>c，则a－c>b－c.(　　) (3)若ac2>bc2，则a>b.(　　) (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (2)下列命题正确的是(　　) A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒< C．a>b且c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 (3)(2023·浙江桐乡茅盾中学高一上第一次月考)已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是________． 答案　(1)C　(2)A　(3) 题型一　利用不等式的性质判断命题的真假 例1　(2023·海南观澜湖双优实验学校高一上月考)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 [解析]　解法一：当c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0，b<0，故D为真命题．故选D. 解法二(特殊值排除法)：取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题；取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B为假命题；取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C为假命题．故选D. [答案]　D 利用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [跟踪训练1]　(1)判断下列命题是否正确，并说明理由： ①若>，则ad>bc； ②设a，b为正实数，若a－<b－，则a<b. 解　①因为>，所以－>0， 即>0， 所以或即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0，故不正确． ②因为a－<b－，且a>0，b>0，所以a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a<0⇒ab(a－b)＋(a－b)<0⇒(a－b)(ab＋1)<0，所以a－b<0，即a<b，故正确． (2)若a<b<0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由： ①<；②>. 解　①成立．由a<b<0得a<a－b<0， 所以<. ②成立．因为a<b<0，所以a＋b<b<0， 所以>. 题型二　利用不等式的性质证明不等式 例2　(2023·福建三明第一中学高一上月考)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. [证明]　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0， 两边同乘以，得<. 又e<0，∴>. [结论探究]　本例条件不变的情况下，求证：<. 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∵a>b>0，∴－ac>－bd>0， ∴0<－<－， 又e<0，∴－>－，∴<. 利用不等式的性质证明不等式的实质及注意点 (1)实质：根据不等式的性质把不等式变形． (2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②