2.1 第1课时 不等关系与不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第1课时　不等关系与不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质.2.理解不等式的概念． 教学重点：1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两个实数的大小． 教学难点：不等关系的实际应用． 核心素养：通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小，发展数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　两个实数大小的比较 (1)a>b⇔a－b>0． (2) a＝b⇔ a－b＝0. (3)a<b⇔ a－b<0. 知识点二　作差比较法 (1)理论依据：a－b>0⇔ a > b； a－b＝0⇔ a＝b； a－b<0⇔ a < b ． (2)方法步骤：①作差；②整理；③判断符号；④下结论． 不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不少于，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个实数都能比较大小．(　　) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 (2)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系为________． 答案　(1)C　(2)m≥n 题型一　用不等式(组)表示不等关系 例1　(1)(2023·辽宁葫芦岛协作校高一上第一次考试)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A．80＋20n≥300 B.80＋20n≤300 C．80＋20(n－1)≤300 D.80＋20(n－1)≥300 [解析]　∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万，∴80＋20(n－1)≥300.故选D. [答案]　D (2)某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？ [解]　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意： ①截得两种钢管的总长度不超过4000 mm； ②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍； ③截得两种钢管的数量都为自然数． 所以可以用下面的不等式组来表示： 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． [跟踪训练1]　(1)中国“神舟十五号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为________． 答案　7.9≤v<11.2 解析　“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2. (2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 解　设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆， 则 题型二　作差法比较大小 例2　设x，y，z∈R，比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2. [解]　(1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－)2＋≥>0，∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝，且z＝1时取等号． 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2．如果两个实数同号，也可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还