1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假． 教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断． 核心素养：1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的否定的应用，提升数学运算素养． 知识点一　全称量词命题的否定 全称量词命题p p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题p ﹁p 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题﹁p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　) (3)命题“∀x∈{x|x≥0}，x3＋x≥0”的否定是“∀x∈{x|x≥0}，x3＋x<0”．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)“至多有一个”的否定为(　　) A．至少有一个 B．最多有两个 C．至少有两个 D．至多有一个 (2)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为(　　) A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 (3)命题“∃x∈Q，x2＝7”的否定是________命题(填“真”或“假”)． 答案　(1)C　(2)B　(3)真 题型一　全称量词命题的否定 例1　写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)对所有正数x，>x＋1； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)每一个四边形的四个顶点共圆． [解]　(1)该命题的否定为：存在正数x，≤x＋1，该命题的否定是真命题． (2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数，该命题的否定是真命题． (3)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆，该命题的否定是真命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． [跟踪训练1]　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 解　(1)该命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以该命题的否定是真命题． (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知该命题的否定是假命题． (3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知该命题的否定为假命题． 题型二　存在量词命题的否定 例2　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1. [解]　(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．该命题的否定是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．该命题的否定是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)该命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”．该命题的否定为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1. 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [跟踪训练2]　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋≠0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解　(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．该命题的否定是假命题，如2是素数也是偶数． (2)该命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋＝0”．该命题的否定是假命题，因