1.4.2 充要条件-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 1.4.2　充要条件 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 教学重点：1.掌握充要条件的概念.2.理解充要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：充要条件的证明与探求． 核心素养：1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用，培养数学运算素养． 知识点　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． (3)概括：如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　　) (2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (3)“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的充要条件．(　　) (4)a，b中至少有一个不为零的充要条件是ab>0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)(2023·湖北荆州中学高一上期中)“三角形全等”是“三角形面积相等”的(　　) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“x2＝1”的充要条件是________． (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案　(1)A　(2)x＝±1　(3)充要 题型一　充要条件的判断 例1　下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)a，b∈R，p：ab>0，q：|a＋b|＝|a|＋|b|； (4)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点． [解]　(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要条件． (2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解， 则a≠0，所以pq，所以p不是q的充要条件． (3)因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|， 所以qp，所以p不是q的充要条件． (4)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件． 从命题角度判断p是q的充要条件 (1)原理：判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立． (2)方法 ①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件； ③若二者都成立，则p与q互为充要条件． [跟踪训练1]　在下列各题中，试判断p是q的什么条件？ (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (3)a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. 解　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分不必要条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． 题型二　充要条件的证明 例2　(2023·江苏常州前黄高级中学高一上阶段测试)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， ∴a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0