第五章 三角函数 章末总结-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝≠sin×α；诱导公式要结合三角函数的定义去记忆． 3．同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定． 4．三角函数的诱导公式 诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角； (2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0，2π)内的角； (3)±α，π±α，±α，2π±α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质 (1)“五点法”作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规． (2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，是f(2x)的周期． 解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域． 6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝常用来升幂或降幂． 7．函数y＝Asin(ωx＋φ) 主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系． 8．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象； (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型； (4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟． 在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑． 学科素养培优 一、任意角三角函数的定义 利用定义求三角函数值的两种方法：(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值；(2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [典例1]　已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)． (1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值； (2)若cosα≤0，且sinα>0，求实数m的取值范围． 解　(1)若m＝2，则P(－3，4)， 所以x＝－3，y＝4，r＝5， 所以sinα＝，tanα＝－. 故5sinα＋3tanα＝5×＋3×(－)＝4－4＝0. (2)由题意知，cosα＝≤0，sinα＝>0， 即x≤0，y>0，所以 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3]． [素养训练1]　(1)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为(　　) A．0 B．－2 C．2 D．－2或2 (2)若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为(　　) A. B．－ C．－ D．－ 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则或分别代入＋，可得其值为0. (2)∵角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)， ∴角α终边上一点的坐标为(1，－)， 故sinα＝＝－. 二、同角三角函数基本关系式的运用 公式变形：(1)sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±，cosα＝±；(2)sinα＝cosαtanα(α≠kπ＋，k∈Z)，cosα＝(α≠，k∈Z)． 已知正切求余弦的公式：将sinα＝cosα·tanα(α≠kπ＋，k∈Z)代入sin