第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 1．比较数(式)的大小 (1)依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. (2)适用范围：数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． (3)步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论． (4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式的实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式． 3．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即：①x，y都是正数； ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、拆分”凑出定值)； ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 4．解一元二次不等式的步骤 当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解． (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图． (3)由图象写出不等式的解集． 特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向及Δ＝0时的特殊情况． (2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解． 5．一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤如下： (1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式． (5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案. 学科素养培优 一、不等关系与不等式的性质 当两个代数式的大小不确定且为多项式形式时，常用作差法比较大小，当两个代数式均为正且均为幂的乘积形式时，常用作商法比较大小． 作差法，步骤如下：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论． 作商法，步骤如下：①作商；②变形；③判断商与1的关系；④结论． [典例1]　(1)下列结论正确的是(　　) A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，c<0，则a＋c<b＋c D．若<，则a<b (2)已知a>0，b>0，且a≠b，试比较＋与a＋b的大小． 解析　(1)对于A，当c大于零时才成立，故A错误；对于B，结论应该为|a|>|b|，故B错误；对于C，不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C错误；D项显然正确．故选D. (2)因为(＋)－(a＋b)＝－b＋－a＝＋＝(a2－b2)(－)＝(a2－b2)＝， 又a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，所以(＋)－(a＋b)>0，即＋>a＋b. 答案　(1)D　(2)见解析 [素养训练1]　(1)已知a＋b<0，且a>0，则(　　) A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2 C．a2<b2<－ab D．－ab<b2<a2 (2)已知a<b<c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小． 答案　(1)A　(2)见解析 解析　(1)解法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2<－ab<b2.故选A. 解法二：由条件a＋b<0，且a>0可得b<0.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)<0，所以0<a2<－ab，又0<a<－b，b<0，所以0<a(－b)<(－b)2，所以0<a2<－ab<b2.故选A. (2)a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2) ＝(a2b－ab2) ＋(b2c－bc2) ＋(c2a－ca2) ＝ab(a－b) ＋bc(b－c) ＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc[(b－a) ＋(a－c)]＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c) ＋ca(c－a) ＝b(a－b)(a－c)＋c(a