5.7 三角函数的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ (教师独具内容) 课程标准：1.了解y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义.2.会用三角函数模型解决简单的实际问题.3.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题． 教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型． 核心素养：1.通过建立三角函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.2.通过对实际问题的求解和分析，培养数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 知识点二　三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 知识点三　建立函数模型的一般步骤 　做一做 (1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A. B．50 C. D．100 (2)函数y＝3sin(x＋)的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，， B．6π，3， C．3π，3，－ D．6π，， (3)如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 (4)一根长l(cm)的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm. 答案　(1)A　(2)B　(3)C　(4) 题型一　三角函数在物理中的应用 例1　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin(2t＋)，t∈[0，＋∞)．作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解]　列表如下： 2t＋ π 2π t 0 sin(2t＋) 1 0 －1 0 s 2 4 0 －4 0 　　描点、连线，图象如图所示．再利用周期性，不断向右平移(每次移动π个单位长度)，得t∈[0，＋∞)上的图象． (1)将t＝0代入s＝4sin(2t＋)， 得s＝4sin＝2， 所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． [跟踪训练1]　单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)． (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ 解　(1)列表如下： 2πt＋ π 2π t 0 s 3 6 0 －6 0 描点、连线，图象如图所示．再利用周期性将图象不断向右平移(每次移动1个单位长度)得t∈[0，＋∞)上的图象． (2)因为当t＝0时，s＝6sin＝3， 所以此时离开平衡位置的距离是3 cm. 题型二　三角函数在生活中的应用 例2　(2023·广东佛山西樵高级中学高一上期末)如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化． (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年3月1日动物种群数量． [解]　(1)设动物种群数量y关于t的函数表达式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则解得A＝100，b＝800. 又周期T＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝＝， ∴y＝100sin(t＋φ)＋800. 又当t＝6时，y＝900， ∴900＝100sin(×6＋φ)＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1， ∴取φ＝－， ∴y＝100sin(t－)＋800(0≤t≤11，t∈N)． (2)当t＝2时，y＝100sin(×2－)＋800＝750， 即当年3月1日动物种群