5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 (教师独具内容) 课程标准：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 教学重点：1.能通过三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行化简、求值． 教学难点：两角差的余弦公式的推导过程． 核心素养：1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养.2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 　对公式C(α－β)的几点说明 (1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦、右边是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β. (3)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)． (4)角变换后使用 cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. (5)移项使用 cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ； sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ. (6)特殊化使用导出诱导公式 cos(－α)＝coscosα＋sinsinα＝sinα. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．(　　) (2)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(　　) (3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)sin12°cos18°＋sin78°cos72°＝(　　) A. B. C．－ D．－ (2)若sinαsinβ＝m，cosαcosβ＝n，则cos(α－β)＝________． (3)化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)·sin(α＋15°)的结果为________． 答案　(1)B　(2)n＋m　(3) 题型一　直接利用公式求值 例1　化简、求值： (1)cos75°； (2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°； (3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. [解]　(1)原式＝cos(120°－45°) ＝cos120°cos45°＋sin120°sin45° ＝－×＋×＝. (2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33° ＝cos(63°－33°)＝cos30°＝. (3)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα. 利用公式C(α－β)求值的方法技巧 在利用两角差的余弦公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值．逆用公式时充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式． [跟踪训练1]　计算下列各式的值： (1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°； (2)coscos＋cossin； (3)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)． 解　(1)原式＝cos(56°－26°)＝cos30°＝. (2)原式＝coscos＋sinsin ＝cos(－)＝cos＝. (3)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝cos60°＝. 题型二　给值求值 例2　(1)(2023·辽宁大连103中学高一上月考)已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　因为sinα－sinβ＝1－，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝(1－)2　①.因为cosα－cosβ＝，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝()2　②.①②两式相加，得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋.所以－2cos(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.故选D. [答案]　D (2)已知sin(＋α)＝，α∈(，)，求cosα的值． [解]　∵α∈(，)，∴＋α∈(，π)， ∴cos(＋α)＝－ ＝－＝－. ∵α＝(＋α)－，∴cosα＝cos[(＋α)－]＝cos(＋α)cos＋sin(＋α)sin＝－×＋×