5.4.3 正切函数的性质与图象-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 5.4.3　正切函数的性质与图象 (教师独具内容) 课程标准：1.能画出正切函数的图象，掌握正切函数的周期性，会求函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数的性质(奇偶性、单调性).3.掌握正切函数的定义域． 教学重点：正切函数的图象和性质． 教学难点：能够利用正切函数的图象和性质解决有关问题． 核心素养：1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养.2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养． 知识点一　正切函数的图象 (1)正切函数的图象 (2)正切函数y＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象叫做正切曲线． (3)正切函数的图象特征 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 知识点二　正切函数的性质 (1)正切函数的性质 函数 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都单调递增 (2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是． (1)画函数y＝tanx，x∈(－，)上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点(－，－1)，(0，0)，(，1)，再画两条平行的虚线x＝－，x＝，最后连线． (2)虽然正切函数y＝tanx在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增． (3)正切函数y＝tanx图象的对称中心为(，0)，k∈Z. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是直线x＝kπ±，k∈Z.(　　) (4)正切函数在某个区间上是减函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)下列函数中同时满足：①在(0，)上单调递增；②最小正周期为2π；③是奇函数的是(　　) A．y＝tanx B．y＝cosx C．y＝tan D．y＝－tanx (2)y＝的定义域为(　　) A．2kπ－<x<2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z) C．kπ－<x≤kπ(k∈Z) D．kπ＋≤x<kπ＋(k∈Z) (3)f(x)＝tan(－2x＋)的最小正周期为________． (4)函数y＝tan(π－x)，x∈(－，)的值域为________． 答案　(1)C　(2)D　(3)　(4)(－，1) 题型一　与正切函数有关的定义域问题 例1　求下列函数的定义域： (1)y＝tan(x＋)； (2)y＝. [解]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝tan(x＋)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}． (2)由－tanx≥0，得tanx≤. 结合y＝tanx的图象可知，在(－，)上，满足tanx≤的角x应满足－<x≤. 所以函数y＝的定义域为{x|kπ－<x≤kπ＋，k∈Z}． 解决与正切函数有关的定义域问题的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. [跟踪训练1]　(1)函数y＝3tan(－)的定义域为________． 答案　 解析　要使函数有意义，应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，所以函数的定义域为{x|x≠－4kπ－，k∈Z}． (2)(2023·河南郑州一中高一上期末)函数y＝＋lg (1－tanx)的定义域为________． 答案　 解析　要使函数y＝＋lg (1－tanx)有意义，则即－1≤tanx<1.在(－，)上满足上述不等式的x的取值范围是[－，)．又因为y＝tanx的周期为π，所以函数的定义域为{x|－＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z}． 题型二　正切函数的单调性及应用 [命题角度1]　求函数的单调区间 例2　求函数y＝tan(－x＋)的单调区间． [解]　∵y＝tan(－x＋)＝－tan(x－)，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得 2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， ∴函数y＝tan(－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，不存在单调递增区间． 求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k