5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 教学重点：y＝sinx，y＝cosx的单调性与最值． 教学难点：y＝sinx，y＝cosx的性质的综合应用． 核心素养：1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养与逻辑推理素养.2.利用函数图象解决单调性与最值问题，培养直观想象素养． 知识点　 正弦函数、余弦函数的性质 y＝sinx y＝cosx 相同处 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期性 最小正周期2π 最小正周期2π 不同处 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　) (2)存在x∈R满足cosx＝.(　　) (3)在区间[0，2π]上，函数y＝sinx仅在x＝时取得最大值1.(　　) (4)y＝sinx在[0，π]上是单调递增的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)函数y＝－cosx在区间[－，]上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 (2)下列x的取值中，能使函数f(x)＝2sin(πx－)取得最大值的是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝ (3)函数y＝sinx(≤x≤)的值域为________． (4)cos________cos(－)(填“>”或“<”)． 答案　(1)C　(2)C　(3)[，1]　(4)< 题型一　与正弦函数、余弦函数有关的复合函数的单调区间 例1　求下列函数的单调递增区间： (1)y＝cos2x；(2)y＝sin(2x＋)； (3)y＝1－sin；(4)y＝logsin(2x＋)． [解]　(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 故函数y＝cos2x的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z. (2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 故函数y＝sin(2x＋)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)． (3)由题意可知函数y＝sin的单调递减区间即为y＝1－sin的单调递增区间， 由2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，得 4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)， 所以函数y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)． (4)由对数函数的定义域和复合函数的单调性， 可知 解得2kπ＋≤2x＋<2kπ＋π(k∈Z)， 即kπ＋≤x<kπ＋(k∈Z)， 故函数y＝logsin(2x＋)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋)(k∈Z)． [条件探究]　将本例(2)的函数改为“y＝sin(－2x＋)”，求函数的单调递增区间． 解　y＝sin(－2x＋)＝－sin(2x－)． 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 故函数y＝sin(－2x＋)的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 求正弦型函数、余弦型函数单调区间的技巧 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． [跟踪训练1]　求下列函数的单调区间： (1)y＝sin(－)； (2)y＝cos(2x＋)． 解　(1)由－＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故函数y＝sin(－)的单调递增区间为[－＋4kπ，＋4kπ]，k∈Z. 由＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故函数y＝sin(