5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［RJA］ 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　周期性与奇偶性 (教师独具内容) 课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性． 教学重点：1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.2.判断简单三角函数的奇偶性． 教学难点：1.函数最小正周期的意义.2.函数周期性与奇偶性的意义． 核心素养：1.通过函数周期性的研究，培养逻辑推理素养.2.借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养． 知识点一　函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sinx y＝cosx 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 (1)y＝sinx， 对称中心：点(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：直线x＝kπ＋(k∈Z)． (2)y＝cosx， 对称中心：点(kπ＋，0)(k∈Z)； 对称轴：直线x＝kπ(k∈Z)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于sin(30°＋120°)＝sin30°，则120°是函数y＝sinx的一个周期．(　　) (2)所有周期函数都有最小正周期．(　　) (3)函数y＝sin2x是奇函数．(　　) (4)余弦函数y＝cosx的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin2x C．y＝cos D．y＝cos4x (2)函数f(x)＝sin(＋x)是(　　) A．T＝2π的奇函数 B．T＝2π的偶函数 C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数 (3)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) (4)若函数y＝f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝3，则f(5)＝________． 答案　(1)D　(2)B　(3)D　(4)－3 题型一　函数周期性的判断 例1　求下列函数的周期： (1)y＝3sin(x＋3)； (2)y＝|cosx|； (3)y＝3cos(－3x)； (4)y＝sin(2x－)． [解]　(1)解法一：y＝3sin(x＋3＋2π) ＝3sin[(x＋4)＋3]＝3sin(x＋3)， 令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)， ∴y＝3sin(x＋3)的周期为4. 解法二：ω＝，∴T＝＝＝4. (2)y＝|cosx|的图象如下图所示． ∴周期T＝π. (3)解法一：y＝3cos(－3x) ＝3cos(3x－)． ∵3cos(3x－＋2π) ＝3cos[3(x＋)－] ＝3cos(3x－)， 令y＝f(x)，则f(x＋)＝f(x)， ∴y＝3cos(－3x)的周期为. 解法二：∵|ω|＝3，∴T＝＝. (4)解法一：y＝sin(2x－) ＝sin(2x－＋2π) ＝sin[2(x＋π)－]， 令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)， ∴y＝sin(2x－)的周期为π. 解法二：∵ω＝2，∴T＝＝＝π. 求三角函数周期的方法 方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解； 方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝； 方法三：观察法(图象法)． [跟踪训练1]　求下列三角函数的周期： (1)y＝4sinx，x∈R； (2)y＝cos2x，x∈R； (3)y＝sin(x－)，x∈R. 解　(1)因为4sinx＝4sin(x＋2π)，由周期函数的定义知，y＝4sinx的周期为2π. (2)因为cos2x＝cos(2x＋2π)＝cos2(x＋π)，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π. (3)因为sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin[(x＋6π)－]，由周期函数的定义知，y＝sin(x－)的周期为6π. 题型二　函数奇偶性的判断 例2　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(－x＋)； (2)f(x)＝lg (1－sinx)－lg (1＋sinx)； (3)f(x)＝. [解]　(1)显然x∈R，f(x)＝