4.2.3 第2课时 对数函数性质的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ 第2课时　对数函数性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.会用代数运算的方法研究对数函数的性质.2.理解对数函数中所蕴含的运算规律． 教学重点：1.求与对数函数有关的函数的定义域.2.解简单的对数不等式.3.求与对数函数有关的函数的值域与最值． 教学难点：解决对数函数的综合问题． 核心素养：通过运用对数函数的性质解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　y＝logaf(x)型函数的性质 (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据“同增异减”法则判定(或运用单调性定义判定)． (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． (5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性； (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(　　) (2)函数在(0，＋∞)上为增函数．(　　) (3)不等式ln x<1的解集为(0，e)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)＝ln (1－x)的定义域为________． (2)函数f(x)＝lg (2x－4)的单调递增区间是________． (3)不等式的解集为________． 答案　(1)(－∞，1)　(2)(2，＋∞)　(3)(－2，1) 题型一　与对数函数有关的函数定义域问题 例1　求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)； (5)y＝. [解]　(1)要使函数有意义，需解得x>1且x≠2.∴所求函数的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需 即解得x≥4. ∴所求函数的定义域是[4，＋∞)． (3)要使函数有意义，需16－4x>0， 解得x<2. ∴所求函数的定义域是(－∞，2)． (4)要使函数有意义，需 解得1<x<3且x≠2. ∴所求函数的定义域是(1，2)∪(2，3)． (5)要使函数有意义，需满足 即解得－1<x<0， ∴所求函数的定义域是(－1，0)． 求函数的定义域应考虑的几种情况 求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑以下几种情况：①中f(x)≠0；②(n∈N＋)中f(x)≥0；③logaf(x)(a>0且a≠1)中f(x)>0；④logf(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义． [跟踪训练1]　求下列函数的定义域： (1)y＝＋lg (5－3x)； (2)y＝； (3)y＝log(x－1)(x2＋5x＋6)． 解　(1)要使函数有意义，需 ∴1≤x<. ∴原函数的定义域为. (2)由题意得log0.5(4x－3)>0，可得0<4x－3<1，即3<4x<4，解得<x<1. ∴原函数的定义域为. (3)由题意，得 解得∴x>1且x≠2， ∴原函数的定义域为(1，2)∪(2，＋∞)． 题型二　解简单的对数不等式 例2　解不等式： (1)ln (x－1)<1； (2)log(2x＋3)≤log(5x－6)； (3)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0且a≠1)． [解]　(1)原不等式可变为ln (x－1)<ln e. 则不等式等价于 解得1<x<e＋1. 所以不等式的解集为{x|1<x<e＋1}． (2)原不等式等价于 解得<x≤3. 所以不等式的解集为. (3)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)． 当a>1时，不等式等价于 解得x∈∅； 当0<a<1时，不等式等价于 解得x>4. 综上可知，当a>1时，不等式的解集为∅； 当0<a<1时，不等式的解集为{x|x>4}． 求解简单的对数不等式的一般方法 解对数不等式时应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件．常见对数不等式的类型如下： [跟踪训练2]　(1)已知log(2m2＋2m－1)<log(m－1)，求m的取值范围． 解　原不等式等价于 解得m>1. 所以m的取值范围是(1，＋∞)． (2)已知f(x)