4.2.2 对数运算法则-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ 4.2.2　对数运算法则 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的运算性质.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 教学重点：1.对数运算法则.2.换底公式． 教学难点：对数运算法则及换底公式的应用． 核心素养：1.通过学习对数运算法则和换底公式培养数学抽象素养.2.通过应用对数运算法则和换底公式解决问题培养数学运算素养． 知识点一　对数运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； 推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均为正因数)； (2)logaMα＝αlogaM； (3)loga＝logaM－logaN． 知识点二　对数的换底公式 (1)logab＝，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1. (2)转换成自然对数或常用对数logab＝＝． 1．对数运算性质口诀 积的对数变加法，商的对数变减法； 幂的乘方取对数，要把指数提到前． 2．换底公式的常用推论 (1)loganbn＝logab； (2)logambn＝logab； (3)logab×logba＝1； (4)logab×logbc×logcd＝logad. 对于上述结论，都可采用换底公式证出，以(4)为例，证明如下： logab×logbc×logcd＝××＝＝logad. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)loga(xy)＝logax×logay.(　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　) (4)由换底公式可得logab＝.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)log325－log35＝________． (2)lg 8＋lg 53＝________． (3)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________． 答案　(1)log35　(2)3　(3) 题型一　对数运算法则的应用 例1　(1)若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式： ①logax×logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga(xy)＝logax×logay； ④＝loga； ⑤(logax)n＝logaxn； ⑥logax＝－loga； ⑦＝loga； ⑧loga＝－loga. 其中式子成立的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24×log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax×logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24×log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax×logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，∴＝loga不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；⑦成立，由于loga＝logax＝；⑧成立，由于loga＝loga＝－loga. [答案]　A (2)化简：①； ②2log32－log3＋log38－5log53； ③log2＋log2. [解]　①原式＝ ＝＝. ②原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1. ③原式＝log2(×)＝log24＝2. 利用对数运算法则解决相关问题的思路 (1)利用对数运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数运算法则化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． (2)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg ＝－lg a等． [跟踪训练1]　计算：(1)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log535－2log5＋log57－log51.8. 解　(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋