4.2.1 对数运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ 4.2.1　对数运算 (教师独具内容) 课程标准：理解对数的概念． 教学重点：对数的概念、对数的性质． 教学难点：对数性质的灵活运用． 核心素养：1.通过学习对数的概念和对数的性质培养数学抽象素养.2.通过运用对数的性质解决问题培养数学运算素养． 知识点一　对数的概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 知识点二　对数的性质 由对数的概念可得到如下性质： (1)负数和零没有对数． (2)以a(a>0且a≠1)为底1的对数为0，即loga1＝0(a>0且a≠1)． (3)底的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1)． (4)对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． 因为由b＝logaN，得ab＝N，所以将b＝logaN代入上式，可得alogaN＝N． (5)logaab＝b(a>0且a≠1)． 因为ab＝N⇔logaN＝b，所以logaab＝b(a>0且a≠1)． 知识点三　常用对数与自然对数 (1)常用对数 ①定义：以10为底的对数称为常用对数． ②符号表示：常用对数log10N通常简写为lg N． (2)自然对数 ①定义：以e为底的对数称为自然对数． ②符号表示：自然对数logeN通常简写为ln N． 　在对数logaN中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则N为某些数值时，b不存在，如式子(－3)b＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在．因此规定a不能小于0. (2)当a＝0且N≠0时，b不存在；当a＝0，N＝0时，b有无数个值，不能确定．因此规定a≠0. (3)当a＝1且N≠1时，b不存在；而当a＝1，N＝1时，b可以为任何实数，不能确定．因此规定a≠1. (4)当a＞0且a≠1时，由ab＝N(N＞0)，知当a与N确定之后，b唯一确定．因此规定a＞0且a≠1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(　　) (2)对数式log32与log23的意义一样．(　　) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　) (4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)将log3a＝2化为指数式为________． (2)若5x＝2024，则x＝________． (3)lg 10＝________；ln e＝________． (4)计算：2log23＋3log32＋lg 0.0001＝________． 答案　(1)32＝a　(2)log52024　(3)1　1　(4)1 题型一　对数的概念 例1　在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<4 [解析]　由题意得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C 对数式有意义的条件 对数式有意义的两个前提：①底数大于0且不等于1；②对数的真数必须大于0. [跟踪训练1]　在log(2x－1)(x＋2)中求x的取值范围． 解　因为真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以解得x>且x≠1. 即x的取值范围是. 题型二　指数式与对数式的互化 例2　(1)将下列指数式改写成对数式：2－5＝；34＝81；＝n. [解]　log2＝－5；log381＝4；logn＝m. (2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3；log16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3. [解]　53＝125；＝16；eb＝a；103＝1000. 指数式与对数式互化的思路 指数式ab＝N可以写成对数式logaN＝b(a>0且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下： (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [跟踪训练2]　(1)若a＝log23，则2a＋2－a＝________． 答案　 解析　因为a＝log23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝. (2)将下列指数式与对数式互化： ①log216＝4；③43＝64. 解　①24＝16.②()6＝x.③log464＝3. 题型三　对数恒等式的应用 例3　求下列各式的值： (1) ；(2) ；(3)； (4)2log25；(5) . [解]　(1) ＝4. 运用对数恒等式时的注