4.1.2 第2课时 指数函数性质的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ 第2课时　指数函数性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：在解决问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 教学重点：1.求指数型函数的定义域、值域、最值.2.解指数方程和指数不等式． 教学难点：综合运用指数函数的性质解决问题． 核心素养：通过运用指数函数的性质解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　与指数函数复合的函数单调性 (1)函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： y＝f(u) u＝g(x) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，根据“同增异减”法则，得出复合函数y＝f(g(x))的单调性，从而求出复合函数的单调区间． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝21－x是R上的增函数．(　　) (2)函数y＝的定义域为[1，＋∞)．(　　) (3)若<1，则x的取值范围为(－∞，－1)．(　　) (4)函数f(x)＝的单调递增区间是[0，＋∞)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y＝的定义域为________． (2)函数f(x)＝()－x，x∈[0，2]的值域为________． (3)不等式5 2x2>5x＋1的解集是________． 答案　(1)[0，＋∞)　(2)　(3)∪(1，＋∞) 题型一　与指数函数有关的定义域、值域问题 例1　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2； (2)y＝； (3)y＝. [解]　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)． ∵≠0，∴2≠1， ∴函数y＝2的值域为(0，1)∪(1，＋∞)． (2)定义域为R. ∵|x|≥0， ∴y＝＝≥＝1， ∴函数y＝的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－≥0， ∴≤1＝， ∴x≥0，∴定义域为[0，＋∞)． ∵x≥0，∴≤1. 又>0，∴0<≤1. ∴0≤1－<1，∴0≤y<1， ∴函数y＝的值域为[0，1)． 与指数函数有关的定义域、值域问题的求解思路 (1)求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式或不等式组，解不等式或不等式组可得定义域． (2)求函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域的方法： ①换元，令t＝f(x)，并求t＝f(x)的定义域； ②求t＝f(x)的值域M； ③利用y＝at的单调性，求y＝at在t∈M上的值域． [跟踪训练1]　(1)函数y＝的定义域是________． 答案　(－∞，－2]∪[3，＋∞) 解析　因为函数有意义的充要条件是x2－x－6≥0，即x≤－2或x≥3，所以所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)． (2)函数f(x)＝－1，x∈[－1，2]的值域为________． 答案　 解析　∵－1≤x≤2，∴≤≤3，∴－≤－1≤2，∴值域为. (3)求函数y＝－3×＋2，x∈[－2，2]的值域． 解　y＝－3×＋2＝－3×＋2， 令t＝，则y＝t2－3t＋2＝－. ∵x∈[－2，2]，∴≤t＝≤4， 当t＝时，ymin＝－；当t＝4时，ymax＝6. ∴函数y＝－3×＋2，x∈[－2，2]的值域是. 题型二　解简单的指数不等式 例2　(1)解不等式≤2. [解]　∵2＝， ∴原不等式可以转化为≤. ∵函数y＝在R上是减函数， ∴3x－7≥－1，∴x≥2. 故原不等式的解集是{x|x≥2}． (2)已知ax2－3x＋2<a－x＋5(a>0且a≠1)，求x的取值范围． [解]　分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋2>－x＋5，∴x2－2x－3>0， 解得x<－1或x>3； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋2<－x＋5，∴x2－2x－3<0， 解得－1<x<3. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>3；当a>1时，－1<x<3. 解简单的指数不等式的一般步骤 解指数不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为： [跟踪训练2]　(1)解不等式>3－2x. 解　由>3－2x，得38－x2>3－2x， ∴8－x2>－2x，即x2－2x－8<0， 解得－2<x<4. ∴不等式>3－2x