4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ 4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的概念、性质与图象 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 教学重点：指数函数的概念、图象与性质． 教学难点：运用指数函数的图象与性质解决问题． 核心素养：1.通过学习指数函数的概念、图象与性质培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过运用指数函数的图象与性质解决简单问题培养逻辑推理素养． 知识点一　指数函数的概念 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． 知识点二　指数函数的图象与性质 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表： a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 图象恒过定点(0，1) 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 函数值的变化 情况 当x>0时，ax>1； 当x＝0时，ax＝1； 当x<0时，0<ax<1 当x>0时，0<ax<1； 当x＝0时，ax＝1； 当x<0时，ax>1 对称性 函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 1．指数函数y＝ax的特征 (1)ax的系数是1. (2)ax的底数是常数，且是不等于1的正实数． (3)ax的指数仅含有自变量x. 2．指数函数y＝ax中规定底数a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则对于x的某些数值，ax无意义，如(－2)x，当x＝，等时，无意义． (2)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1，这样对于任意x∈R，ax都有意义． 3．在同一直角坐标系中，几个指数函数图象的相对位置与底数的关系 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，这一性质可通过x取1时，函数值的大小去理解．如图所示，a，b，c分别对应函数y＝ax，y＝bx，y＝cx当x取1时的函数值，因为a>b>c，所以在y轴右侧图象从上到下对应y＝ax，y＝bx，y＝cx，这就验证了上述性质． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x3是指数函数．(　　) (2)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　) (3)当a>1时，对于任意x∈R总有ax>1.(　　) (4)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________． (2)若函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象过点(3，9)，则f(1)＝________． (3)已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为________． 答案　(1)2　(2)3　(3)m<n 题型一　指数函数的概念 例1　(1)函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0且a≠1)是指数函数，则m＝________． [解析]　∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1. [答案]　0或1 (2)若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－2)＝________，f(1)＝________． [解析]　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∵f(x)的图象过点(2，9)，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3. [答案]　　3 1．指数函数的判定 判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，其具备的特点如下： 2．待定系数法求指数函数的解析式 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． [跟踪训练1]　(1)(多选)下列一定是指数函数的是(　　) A．y＝ax(a>0且a≠1) B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝ D．y＝(a－2)ax 答案　AC 解析　由指数函数的概念，知A中的函数是指数函数；B中，y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，所以不是指数函数；C中，y＝显然是指数函数；D中，只有即a＝3时才是指数函数．故选AC. (2)已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2，4)，求a的值． 解　由指数函数的定义，可知(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2或a＝3. 当a＝2时，指数函