专题08勾股定理（2个知识点3种题型2种中考考法）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题08勾股定理（2个知识点3种题型2种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.勾股定理（重点） 知识点2.勾股定理的验证（难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.利用勾股定理求线段的长度 题型2.与勾股定理有关的面积计算 题型3.利用勾股定理说明线段的平方关系 【方法三】 仿真实战法 考法1.用勾股定理求线段的长 考法2.与勾股定理有关的面积计算 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 感受探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想。 2. 能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长（只限于常用的数），能应用已有的数学知识验证勾股定理。 3. 经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展有条理的思考于表达能力，从中感受勾股定理的文化价值。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.勾股定理（重点） （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2.勾股定理的验证（难点） 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【方法二】实例探索法 题型1.利用勾股定理求线段的长度 【例1】（2022秋•常州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，则AC的长为（　　） A．2n B．2n2 C．4n D．4n2 【变式1】（2022秋•南京期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（　　） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 【变式2】（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长为 　　． 题型2.与勾股定理有关的面积计算 【例2】（2021秋•常熟市校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 【变式】（2022秋•工业园区校级月考）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 　　． 题型3.利用勾股定理说明线段的平方关系 【例3】（2022秋•兴化市期中）如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（　　） A．25 B．28 C．16 D．48 【变式1】（2022秋•扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值． 【变式2】（2022秋•灌南县期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值． 【变式3】（2022秋•吴江区月考）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系． 如图1，它是由四个