专题09 空间距离与角度8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题09 空间距离与角度8种常见考法归类 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2、求点到平面的距离的四步骤 注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　　　 3、求异面直线所成的角 （1）基向量法求异面直线的夹角的一般步骤 ①找基底． ②用同一组基底表示两异面直线的方向向量． ③利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值． ④结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角． （2）用空间向量法求异面直线夹角的步骤 ①确定两条异面直线的方向向量． ②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． ③得出两条异面直线所成的角． 4、求直线与平面所成角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③求平面的法向量n； ④计算：设线面角为θ，则sin θ＝.　　　　 5、求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； ②求出两个半平面的法向量n1，n2； ③设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 或π－〈n1，n2〉 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一点到直线的距离 考点二点到平面的距离 考点三异面直线的距离 考点四异面直线所成的角 考点五直线与平面所成的角 考点六平面与平面所成的角(二面角) 考点七角度与距离的综合问题 考点八探索性动点问题 考点一点到直线的距离 1．（2023春·江苏扬州·高二仪征市第二中学校考阶段练习）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·福建福州·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中有长方体，，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．1 3．（2023秋·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考期末）如图，平行六面体中，底面是菱形，且. (1)求与所成角的余弦值； (2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离. 4．（2023秋·湖北黄冈·高二校考期中）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，，且，异面直线与所成的角为. （1）求证：平面； （2）若是线段的中点，求点到直线的距离. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 5．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD=2．建立适当的空间直角坐标系． (1)求平面SAB与平面SCD夹角的正弦值； (2)求S到直线CD的距离． 考点二点到平面的距离 6．（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（    ） A．2 B．1或3 C．2或4 D．或 8．（2023秋·重庆巴南·高二重庆市清华中学校校考阶段练习）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，E、F分别是棱、BC的中点. (1)求证：平面AEF； (2)求点F到平面的距离. 9．（2023春·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）如图，四棱锥中，为等边三角形，，E为的中点，平面平面. (1)求点D到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 10．（2023秋·安徽·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形且，侧面底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E、F分别是AD、PB的中点． (1)证明：平面PCE； (2)求直线CF与平面PCE所成角的正弦值； (3)求点F到平面PCE的距离． 11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且平面，，M，N分别为，的中点.    （1）记平面与底面的交线为