4.4 数学归纳法-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P L.在等比数列{a.}中，S是它的前n项和，若 是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两 S.=3×2+a,则a= ( 项的和为24，则此等比数列的项数为() A.3 B.2 C.-2 D.-3 A12 B.10 2.已知等比数列{a}的公比为2，且其前5项和 C.8 D.6 为1，那么{a.}的前10项和等于 4.设等比数列{am}的前n项和为Sm,若q=2, A.31 B.33 C.35 D.37 S1o=36,则a1十a1十as十…十a90= 3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和 提示完成P课时作业（十）和P培优训练（二） 4.4* 数学归纳法 [学习目标]了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，发展数学抽象、逻辑推理和 数学运算的核心素养 必备知识·基础落实 答案见P出 要点数学归纳法 以把数学归纳法证明的形式改写如下： 1.定义 条件：(1)P()为真；(2)若P(k)(k∈N,k≥ 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 )为真，则P(k+1)也为真.结论：P()为真. 按下列步骤进行 辨析 (1)归纳奠基：证明当n=no(∈N)时命题 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 成立： (1)用数学归纳法证明题目时可以只证明归纳 (2)归纳递推：以“当n=k(k∈N,k≥)时命 递推， () 题成立”为条件，推出“当 时命题也 (2)数学归纳法证明3"≥n(n≥3，n∈N”)的 成立” 第一步是验证n=3. () 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称 (3)设8=是+十2十+中则 为数学归纳法 S=十中十十2十3十…十 >思考：数学归纳法的第一步的初始值是否 一定为1？ (k+1)+(k+1) (④)利用数学归纳法证明不等式1十号十号十 }+号+…+2马<m≥2，且nN)的过 2.改写形式 程中，由n=k变到n=k十1时，左边增加了 记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可 2项 () ·34· 第四章数列 关键能力，素养提升 答案见P口 探究一 用数学归纳法证明等式 【变式1】用数学归纳法证明等式12一22+32一 4+…+(-1)"n=(-1)-nn+1 2 误区防错 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值na时等式两端项的 情况： (2)弄清从n=k到n=k十1时等式两端增加 了哪些项，减少了哪些项： (3)证明n=k十1时结论也成立，要设法将待 证式与归纳假设建立联系，并向=k十1时 探究二用数学归纳法证明不等式 要证明目标的表达式变形 【例题】用数学归纳法证明等式义3十十 22 规律总结 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式 3 (n十1) (2n-1)(2+1) 2(21+1) (EN). 难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法 证明的第二步，即已知f(k)>g(k),求证 f(k十1)>g(k十1)时应注意灵活运用证明 不等式的一般方法（比较法、分析法、综合 法).具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换： (2)瞄准当n=k十1时的递推目标，有目的地 放缩、分析直到凑出结论 【例题2】用数学归纳法证明1+受<1+号十 35 数学选择性必修第二册课堂学案 【变式2】试用数学归纳法证明1+安十号十十 【例题3】已知数列☆770103… 2-≥2aeNy (3n-2)(3m+D的前n项和为S.,计算S, S2,S,S,根据计算结果，猜想Sm的表达式， 并用数学归纳法进行证明， 【变式3】已知数列{a.}的前n项和为S。,且满足 a1=3,S=am-1十n2十1(n≥2)，求a2,ag,a4 的值，猜想数列{am}的通项公式并用数学归 探究三归纳一猜想一证明 纳法证明。 规律总结 (1)“归纳一猜想一证明”的一般环节 计算 根据条件，准晚计算出前若千项，这 是归钠、绮退的丞确 (归纳 通过规察、分祈、比较、综合、联想， 猜想 猜想出一般的钻论 证明 对一般结论用数学归纳法进行证明 (2)“归纳一猜想一证明”的主要题型：①已知 数列的递推公式，求通项或前n项和：②由一 些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命 题成立的参数值是否存在：③给出一些简单 的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正 整数n都成立的一般性命题， ·36· 第四章数列 随堂检测学以致用 答案见P 1.用数学归纳法证明>3n2+3m十1这一不等 C.1+a+a" D.1+a+a2+a 式时，应注意n必须为 ( 3用数学归纳法证明m)=十是+十录的 A.n∈N B.n∈N°，n≥2 过程中，f(k十1)一f(k)= C.n∈N”,n≥3 D.n∈N°